Konu anlatımı
Küme, iyi tanımlanmış nesnelerin topluluğudur. “10'dan küçük asal sayılar” bir küme belirtir, çünkü bir sayının bu topluluğa girip girmediği kesin olarak söylenebilir; “güzel şehirler” ise kişiden kişiye değiştiği için küme belirtmez. Sayı kümeleri, denklemlerin çözüm kümeleri ve olasılıktaki örnek uzay hep küme diliyle yazılır; bu yüzden kümeler matematiğin ortak dilidir.
Bu sayfada kümelerin gösterimini, alt kümeyi, kümelerle yapılan işlemleri, eleman sayısı hesaplarını, iki ve üç kümeli Venn şeması problemlerini ve kartezyen çarpımı göreceksin. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Küme, eleman ve gösterimler
a nesnesi A kümesinin elemanıysa a ∈ A, değilse a ∉ A yazılır; A'nın eleman sayısı s(A) ile gösterilir. Kümeler üç biçimde yazılır: liste yöntemiyle A = {2, 3, 5, 7}, ortak özellik yöntemiyle A = {x | x, 10'dan küçük bir asal sayıdır} ve Venn şemasıyla. Listede her eleman bir kez yazılır ve sıranın önemi yoktur.
Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir; ∅ ya da { } ile gösterilir. {∅} ve {0} kümeleri ise boş değildir, birer elemanları vardır. Elemanları sayılarak bitirilebilen kümeler sonlu, bitirilemeyenler sonsuz kümelerdir. Üzerinde çalışılan bütün elemanları içeren kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir.
Alt küme ve eşit kümeler
A'nın her elemanı B'nin de elemanıysa A, B'nin alt kümesidir ve A ⊂ B yazılır. Boş küme her kümenin, her küme de kendisinin alt kümesidir. A ⊂ B ve B ⊂ A ise iki küme aynı elemanlardan oluşur ve eşittir: A = B.
n elemanlı bir kümenin 2ⁿ alt kümesi vardır, çünkü her eleman için “alt kümede olsun mu, olmasın mı?” sorusunun iki cevabı vardır. Kümenin kendisi dışındaki alt kümelere öz alt küme denir; sayıları 2ⁿ − 1'dir. Belirli elemanların bulunması ya da bulunmaması istenirse yalnızca serbest kalan elemanlar için iki seçenek sayılır.
Kümelerle işlemler
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5} kümeleriyle işlemlerin anlamını görebilirsin. Fark işleminde sıra önemlidir; A − B ile B − A genellikle farklı kümelerdir. Kesişimi boş olan kümelere ayrık kümeler denir.
- Birleşim, A ∪ B: en az bir kümede bulunanlar; örnekte {1, 2, 3, 4, 5}.
- Kesişim, A ∩ B: iki kümede de bulunanlar; örnekte {3, 4}.
- Fark, A − B: A'da olup B'de olmayanlar; örnekte {1, 2}. B − A ise {5} kümesidir.
- Tümleme, A': evrensel kümede olup A'da bulunmayanlar; A' = E − A.
- De Morgan kuralları: (A ∪ B)' = A' ∩ B' ve (A ∩ B)' = A' ∪ B'.
Eleman sayısı ve Venn şeması
İki kümenin birleşiminde ortak elemanlar iki kez sayılmamalıdır: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B). Yalnız A'da bulunanların sayısı ise s(A − B) = s(A) − s(A ∩ B) bağıntısıyla bulunur.
Venn şeması sorularında en güvenli yol, her bölgeyi ayrı ayrı yazmaktır. İki kümeli şemada dört, üç kümeli şemada sekiz bölge vardır; bölgelerin toplamı evrensel kümenin eleman sayısını verir. “A'ya üye olanlar” ile “yalnız A'ya üye olanlar” farklı bölgelerdir. Üç küme için s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) − s(A ∩ B) − s(A ∩ C) − s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C) bağıntısı kullanılır.
Kartezyen çarpım
(a, b) biçimindeki ikiliye sıralı ikili denir; (a, b) = (c, d) olması için a = c ve b = d olmalıdır. A × B = {(a, b) | a ∈ A ve b ∈ B} kümesine A ile B'nin kartezyen çarpımı denir. Birinci bileşen için s(A), ikinci bileşen için s(B) seçenek olduğundan s(A × B) = s(A)·s(B) olur. A × B ile B × A'nın eleman sayıları eşittir ama elemanları genellikle farklıdır.
Sonlu kümelerin kartezyen çarpımı koordinat düzleminde noktalarla gösterilir: apsisler A'dan, ordinatlar B'den gelir. Aralıkların kartezyen çarpımı lise programının bu konusunda yer almaz.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir sınıfta yalnız satranç oynayan 2x, hem satranç hem dama oynayan x + 3, yalnız dama oynayan 15 öğrenci vardır; iki oyunu da oynamayan öğrenci sayısı x − 1'dir. Sınıf mevcudu 49 olduğuna göre satranç oynayan kaç öğrenci vardır?
Çözüm. Dört bölgenin toplamı sınıf mevcuduna eşittir: 2x + (x + 3) + 15 + (x − 1) = 4x + 17 = 49, buradan x = 8 bulunur. Satranç oynayanlar, yalnız satranç oynayanlar ile iki oyunu da oynayanlardır: 2x + x + 3 = 3x + 3 = 27. Yalnız satranç bölgesindeki 16'yı cevap sanmak, iki oyunu da oynayanları dışarıda bırakır.
Örnek 2. Öz alt küme sayısı 63 olan bir kümeye 2 yeni eleman eklenirse yeni kümenin kaç alt kümesi olur?
Çözüm. n elemanlı kümenin öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1'dir. 2ⁿ − 1 = 63 eşitliğinden 2ⁿ = 64 ve n = 6 bulunur. İki eleman eklenince küme 8 elemanlı olur ve alt küme sayısı 2⁸ = 256'dır. Her yeni eleman alt küme sayısını iki katına çıkardığı için 64·2·2 = 256 diye de düşünebilirsin.
Örnek 3. Bir okulda voleybol, basketbol ve futbol kulüplerinden en az birine üye 60 öğrenci vardır. Voleybola 30, basketbola 25, futbola 28 öğrenci üyedir ve üç kulübe birden üye olan 4 öğrenci vardır. Buna göre tam olarak iki kulübe üye olan kaç öğrenci vardır?
Çözüm. Yalnız bir kulübe üye olanlara a, tam iki kulübe üye olanlara b diyelim. Öğrenci sayısından a + b + 4 = 60 yazılır. Üyelik sayıları toplanınca her öğrenci üye olduğu kulüp sayısı kadar sayılır: a + 2b + 3·4 = 30 + 25 + 28 = 83. İkinci eşitlikten birinciyi çıkarınca b + 8 = 23 ve b = 15 bulunur. Yalnız bir kulübe üye olanlar 60 − 15 − 4 = 41 kişidir.
Örnek 4. A = {1, 2, 3} ve B = {2, 3, 4, 5} kümeleri veriliyor. A × B kümesinin elemanlarından kaç tanesinde birinci bileşen ikinci bileşenden küçüktür?
Çözüm. A × B'nin 3·4 = 12 elemanı vardır. Elemanları birinci bileşene göre sayarız: birinci bileşen 1 iken ikinci bileşen 2, 3, 4 ya da 5 olabilir (4 eleman); 2 iken 3, 4 ya da 5 olabilir (3 eleman); 3 iken 4 ya da 5 olabilir (2 eleman). Toplam 4 + 3 + 2 = 9 eleman bulunur.
Sık yapılan hatalar
- {∅} kümesini boş küme sanmak; bu küme bir elemanlıdır.
- Venn şemasında “satranç oynayanlar” ile “yalnız satranç oynayanlar” bölgelerini karıştırmak.
- s(A ∪ B) hesaplarken ortak elemanları iki kez sayıp kesişimi çıkarmamak.
- A − B ile B − A'yı aynı küme sanmak; fark işleminde sıra önemlidir.
- Kartezyen çarpımda (2, 5) ile (5, 2) ikililerini aynı eleman saymak.
- n elemanlı kümenin 2ⁿ alt kümesi ve 2ⁿ − 1 öz alt kümesi vardır.
- s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B).
- A − B = A ∩ B'; (A ∪ B)' = A' ∩ B' ve (A ∩ B)' = A' ∪ B'.
- Venn sorularında her bölgeyi ayrı yaz ve bölgelerin toplamını bütüne eşitle.
- s(A × B) = s(A)·s(B); A × B ile B × A genellikle eşit değildir.