Konu anlatımı
Kulüp, dil, spor ya da abonelik soruları iki kümenin Venn şemasıyla kolayca çözülür. Bu alt başlıkta şemadaki dört bölgeyi tanımayı, sözel ifadeleri doğru bölgeye yerleştirmeyi ve bölgelerde bilinmeyen olduğunda denklem kurmayı öğreneceksin.
Dört bölge
Evrensel küme içinde kesişen iki küme çizilince dört bölge oluşur: yalnız A (A − B), ortak bölge (A ∩ B), yalnız B (B − A) ve iki kümenin dışı. Her eleman bu bölgelerden yalnız birindedir; bu yüzden dört bölgenin toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir.
Soru kökündeki ifadeleri bölgelere çevirmek işin anahtarıdır. “A'ya üye olanlar” A'nın tamamıdır, yani yalnız A bölgesi ile ortak bölgenin toplamıdır. “Yalnız A'ya üye olanlar” ise yalnızca A − B bölgesidir. “En az birine” birleşimi, “yalnız birine” iki yalnız bölgenin toplamını, “hiçbirine” dış bölgeyi, “en fazla birine” ise iki yalnız bölge ile dış bölgenin toplamını anlatır.
Bilinmeyenli bölgeler
Bölgelerden bazıları x gibi bir bilinmeyenle verilirse iki tür bilgi kullanılır: bölgelerin toplamı ve kümeler arasındaki bir ilişki, örneğin birinin ötekinin iki katı ya da ötekinden 5 fazla olması. Her kümenin eleman sayısını kendi bölgelerinin toplamı olarak yaz ve ilişkiyi denkleme çevir.
Bulduğun x değerini her bölgeye yerleştirip hiçbir bölgenin negatif çıkmadığını kontrol et. Sonra sorunun hangi bölgeyi ya da hangi bölgelerin toplamını istediğine yeniden bak; x'in kendisi çoğu zaman cevap değildir.
Tablo ile düşünmek
İki özellikli sorular tabloyla da çözülebilir. Satırlara A'da olanlar ve olmayanlar, sütunlara B'de olanlar ve olmayanlar yazılır; tablonun dört hücresi Venn şemasının dört bölgesidir. Bir sınıfta “gözlüklü kızlar” ya da “gözlüksüz erkekler” gibi bilgiler verildiğinde satır ve sütun toplamları, eksik hücreleri hızla bulmanı sağlar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 64 kişilik bir dil kursunda İngilizce bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin sayısının 2 katıdır. İki dili de bilen 6, iki dilden hiçbirini bilmeyen 7 kursiyer vardır. Buna göre yalnız bir dil bilen kaç kursiyer vardır?
Çözüm. Almanca bilenler a ise İngilizce bilenler 2a'dır. En az bir dil bilenler 64 − 7 = 57 kişidir ve birleşim bağıntısından 2a + a − 6 = 57, yani a = 21 bulunur. Yalnız İngilizce bilenler 42 − 6 = 36, yalnız Almanca bilenler 21 − 6 = 15 kişidir. Yalnız bir dil bilenler 36 + 15 = 51 kişidir. Kontrol: 36 + 6 + 15 + 7 = 64.
Örnek 2. Bir Venn şemasında yalnız A bölgesinde 3x − 2, ortak bölgede x, yalnız B bölgesinde 2x + 1 eleman vardır; iki kümenin dışında 4 eleman bulunur. s(A) = s(B) + 5 olduğuna göre evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm. s(A) = (3x − 2) + x = 4x − 2 ve s(B) = x + (2x + 1) = 3x + 1'dir. Verilen ilişkiden 4x − 2 = 3x + 6 ve x = 8 bulunur. Bölgeler 22, 8, 17 ve 4 olur; hiçbiri negatif değildir. Evrensel kümenin eleman sayısı 22 + 8 + 17 + 4 = 51'dir.
Sık yapılan hatalar
- “A'ya üye olanlar” ile “yalnız A'ya üye olanlar” ifadelerini aynı bölge sanmak.
- Dış bölgeyi, yani hiçbir kümede olmayanları toplamdan çıkarmayı unutmak.
- x'i bulduktan sonra sorulan bölgeyi hesaplamadan x'i cevap vermek.
- İki kümeli şemada dört bölge vardır ve toplamları evrensel kümenin eleman sayısıdır.
- Yalnız birine = s(A − B) + s(B − A); en az birine = s(A ∪ B).
- Her kümeyi kendi bölgelerinin toplamı olarak yaz, ilişkiyi denkleme çevir.