Konu anlatımı
Bir kümenin dışında kalan elemanlardan söz edebilmek için önce hangi elemanlarla çalışıldığını belirlemek gerekir. Bu alt başlıkta evrensel küme ve tümleyen kavramlarını, De Morgan kurallarını ve küme işlemleriyle mantık bağlaçları arasındaki benzerliği göreceksin.
Evrensel küme ve tümleyen
Üzerinde çalışılan bütün elemanları içeren kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir. A ⊂ E olmak üzere E'de olup A'da olmayan elemanların kümesine A'nın tümleyeni denir: A' = E − A. E = {1, 2, ..., 10} ve A = {1, 2, 3} ise A' = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} olur. Eleman sayıları için s(A') = s(E) − s(A) yazılır; bu örnekte s(A') = 10 − 3 = 7'dir.
Tümleyenin özellikleri
Tümleyenin temel özellikleri bu bölümdeki listede yer alıyor. Soruların çoğunda iki tanesi işe yarar: A − B = A ∩ B' eşitliği fark işlemini kesişim ve tümleyenle yazmanı sağlar. A ⊂ B ise B'nin dışında kalan her eleman A'nın da dışındadır; bu yüzden kapsama yönü tümleyenlerde ters döner.
- A ∪ A' = E ve A ∩ A' = ∅.
- (A')' = A, E' = ∅ ve ∅' = E.
- A − B = A ∩ B'.
- A ⊂ B ise B' ⊂ A'.
De Morgan kuralları
(A ∪ B)' = A' ∩ B' ve (A ∩ B)' = A' ∪ B' eşitliklerine De Morgan kuralları denir. İlki şunu söyler: A'da veya B'de bulunmayan bir eleman, A'da da B'de de bulunmaz; yani iki kümenin de dışındadır. Tümleyen alınırken birleşim kesişime, kesişim birleşime döner. Venn şemasında iki tarafın bölgelerini tarayarak bu eşitlikleri doğrulayabilirsin. s((A ∪ B)') = s(E) − s(A ∪ B) eşitliği de “hiçbir kümede olmayan” eleman sayısını verir.
Sembolik mantıkla bağlantı
Küme işlemleri ile mantık bağlaçları birbirine karşılık gelir: ∪ ile ∨ (veya), ∩ ile ∧ (ve), tümleme ile önermenin değili, E ile 1, ∅ ile 0. Örneğin p ∨ p' ≡ 1 önermesinin küme karşılığı A ∪ A' = E, (p ∧ q)' ≡ p' ∨ q' önermesinin karşılığı (A ∩ B)' = A' ∪ B' eşitliğidir. Bu benzerlik, açık önermelerin doğruluk kümelerini Venn şemasıyla göstermenin temelidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. E = {1, 2, 3, ..., 12}, A = {x | x, 12'nin pozitif bir bölenidir} ve B = {x | x tek sayıdır} kümeleri veriliyor. (A ∪ B)' kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm. A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} ve B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}'dir. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12} kümesinin 10 elemanı vardır. Tümleyen, E'de olup bu kümede olmayanlardır: {8, 10}. Eleman sayısı 2'dir. De Morgan ile de bulunur: A' ∩ B', 12'yi bölmeyen çift sayılardır, yani yine 8 ve 10.
Örnek 2. (A − B)' ∩ A ifadesinin en sade biçimi nedir?
Çözüm. Önce farkı kesişimle yazarız: A − B = A ∩ B'. De Morgan kuralıyla (A ∩ B')' = A' ∪ B olur. İfade (A' ∪ B) ∩ A biçimine gelir ve dağılma özelliğiyle (A' ∩ A) ∪ (B ∩ A) yazılır. A' ∩ A = ∅ olduğundan sonuç A ∩ B'dir. Venn şemasında A'dan yalnız A bölgesi atılınca geriye ortak bölge kalır.
Sık yapılan hatalar
- De Morgan kuralında tümleyeni dağıtıp birleşimi kesişime çevirmeyi unutmak: (A ∪ B)' = A' ∪ B' yazmak.
- Evrensel küme belirtilmeden tümleyen yazmaya çalışmak.
- A ⊂ B iken A' ⊂ B' sanmak; doğrusu B' ⊂ A' olmasıdır.
- A' = E − A ve s(A') = s(E) − s(A).
- (A ∪ B)' = A' ∩ B' ve (A ∩ B)' = A' ∪ B'.
- A − B = A ∩ B'.
- ∪ ile ∨, ∩ ile ∧, tümleme ile değil, E ile 1, ∅ ile 0 eşleşir.