Konu anlatımı
Sıralı ikililer koordinat düzleminde birer noktadır; bu yüzden A × B kümesi bir nokta kümesi olarak çizilebilir. Bu alt başlıkta sonlu kümelerin kartezyen çarpımının grafiğini çizmeyi, grafikten A ve B kümelerini geri bulmayı ve grafikteki noktalardan bir koşula uyanları seçmeyi göreceksin.
Grafiği çizmek
A × B'nin grafiğinde birinci bileşenler yatay eksende (apsis), ikinci bileşenler düşey eksende (ordinat) gösterilir. A = {1, 2, 3} ve B = {−1, 2} için A'nın her elemanından geçen düşey doğrular ile B'nin her elemanından geçen yatay doğruların kesiştiği 3·2 = 6 nokta işaretlenir. Noktalar birleştirilmez; grafik yalnızca bu altı noktadan oluşur.
Program kartezyen çarpımın grafiğini yalnız sonlu kümeler için ister. Aralıkların kartezyen çarpımı düzlemde bir bölge oluşturur ve lise programının bu konusunda yer almaz.
Grafikten kümeleri okumak
Grafik A × B'nin grafiğiyse noktaların apsisleri A'yı, ordinatları B'yi verir. Aynı apsis birden çok noktada görünse de kümeye bir kez yazılır. Grafikte (−1, 1), (−1, 3), (2, 1), (2, 3), (4, 1) ve (4, 3) noktaları varsa A = {−1, 2, 4} ve B = {1, 3} olur.
Bir kartezyen çarpımın grafiği her zaman bir ızgara biçimindedir: her apsis her ordinatla eşleşir ve nokta sayısı s(A)·s(B)'dir. Izgarada eksik bir nokta varsa grafik A × B'nin tamamı değil, yalnızca bir alt kümesidir.
Koşula uyan noktaları saymak
A × B'nin elemanlarından belirli bir koşulu sağlayanlar istenirse noktalar birinci bileşene göre gruplanarak sayılır: her a için koşula uyan b değerleri belirlenir ve sayılar toplanır. Koşul “b = a − 1” gibi bir eşitlikse uygun noktalar düzlemde aynı doğru üzerinde dizilir; “a < b” gibi bir eşitsizlikse y = x doğrusunun bir tarafında kalır. Koşulu sağlayan noktaların kümesi A × B'nin bir alt kümesidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir koordinat düzleminde A × B kartezyen çarpımının bütün elemanları işaretlenmiştir. İşaretli noktalar (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2) ve (4, 4)'tür. Buna göre (A ∩ B) × (A ∪ B) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm. Apsisler A kümesini, ordinatlar B kümesini verir: A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 4}. A ∩ B = {2, 4} kümesinin 2, A ∪ B = {1, 2, 3, 4} kümesinin 4 elemanı vardır. İstenen kümenin eleman sayısı 2·4 = 8'dir. Grafikteki nokta sayısının da 8 olması bir rastlantıdır; iki küme farklıdır.
Örnek 2. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {1, 2, 3} kümeleri veriliyor. A × B'nin grafiğindeki noktalardan kaç tanesi y = x − 1 doğrusu üzerindedir? Kaç tanesinde ikinci bileşen birinci bileşenden büyüktür?
Çözüm. Doğru üzerindeki noktalarda b = a − 1'dir: (2, 1), (3, 2) ve (4, 3); a = 1 için b = 0 B'de olmadığından bu nokta yoktur. Toplam 3 nokta vardır. İkinci bileşenin büyük olduğu noktalar için a = 1'de b = 2 ya da 3, a = 2'de b = 3 olabilir; a = 3 ve a = 4 için uygun b yoktur. Bu noktaların sayısı da 3'tür.
Sık yapılan hatalar
- Grafikteki noktaları birleştirip çizgi ya da bölge çizmek; sonlu kümelerin kartezyen çarpımı yalnızca noktalardan oluşur.
- Apsis ile ordinatı karıştırıp A ile B kümelerini yer değiştirmek.
- Tekrar eden apsis ya da ordinatları kümeye birden fazla yazıp eleman sayısını büyük bulmak.
- A × B'nin grafiğinde apsisler A'dan, ordinatlar B'den gelir.
- Grafik s(A)·s(B) noktadan oluşan bir ızgaradır.
- Koşullu sayımda noktaları birinci bileşene göre grupla.