Konu anlatımı
Üç kulüp, üç dil ya da üç abonelik söz konusu olduğunda üç kümeli Venn şeması kullanılır. Bu alt başlıkta şemanın bölgelerini, birleşimin eleman sayısını veren bağıntıyı ve “en az iki”, “yalnız bir” gibi ifadeleri bölgelere çevirmeyi göreceksin. Program en fazla üç kümenin birleşimini ele alır.
Sekiz bölge
A, B ve C birbirini kesen üç küme olarak çizilince kümelerin içinde yedi, dışında bir bölge oluşur. Yalnız bir kümede bulunanların üç bölgesi, tam olarak iki kümede bulunanların üç bölgesi ve üç kümede birden bulunanların bir bölgesi vardır. Dış bölge hiçbir kümede olmayanları gösterir.
“En az iki kümede” denince tam iki kümedeki üç bölge ile ortadaki bölge toplanır. “En fazla bir kümede” ise yalnız bir kümedeki üç bölge ile dış bölgenin toplamıdır. s(A ∩ B) değeri yalnızca “A ve B'de olup C'de olmayan” bölgeyi değil, ortadaki bölgeyi de içerir; bu ayrımı her zaman gözet.
Birleşimin eleman sayısı
s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) − s(A ∩ B) − s(A ∩ C) − s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C). Üç kümenin eleman sayıları toplanınca ikili kesişimlerdeki elemanlar iki kez, ortadaki bölgedekiler üç kez sayılır. İkili kesişimler çıkarılınca ortadaki bölge hiç sayılmamış olur; bu yüzden en sonda bir kez eklenir.
Üyelik sayısıyla kısa yol
Yalnız bir kümede x₁, tam iki kümede x₂, üç kümede x₃ eleman varsa birleşimin eleman sayısı x₁ + x₂ + x₃ olur. Üyelik sayılarının toplamı s(A) + s(B) + s(C) ise her elemanı bulunduğu küme sayısı kadar sayar: x₁ + 2x₂ + 3x₃. İki toplamın farkı x₂ + 2x₃'tür. Bu fark, bölgeleri tek tek bilmeden tam iki kümede bulunanların sayısını bulmanı sağlar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir apartmandaki 63 hanenin gazete (G), dergi (D) ve dijital yayın (Y) abonelikleri bir Venn şemasında gösterilmiştir: yalnız G 12, yalnız D 2x, yalnız Y 9, yalnız G ve D 4, yalnız G ve Y x, yalnız D ve Y 6, üçü birden 3 hane. Hiç aboneliği olmayan 8 hane olduğuna göre en az iki aboneliği olan kaç hane vardır?
Çözüm. Kümelerin içindeki bölgelerin toplamı 63 − 8 = 55 olmalıdır: 12 + 2x + 9 + 4 + x + 6 + 3 = 34 + 3x = 55, buradan x = 7 bulunur. En az iki aboneliği olanlar tam iki kümedeki üç bölge ile ortadaki bölgedir: 4 + 7 + 6 + 3 = 20 hane. Kontrol: yalnız bir aboneliği olanlar 12 + 14 + 9 = 35 ve 35 + 20 + 8 = 63.
Örnek 2. s(A) = 20, s(B) = 18, s(C) = 15, s(A ∩ B) = 7, s(A ∩ C) = 5, s(B ∩ C) = 6 ve s(A ∪ B ∪ C) = 39 olduğuna göre s(A ∩ B ∩ C) kaçtır?
Çözüm. Birleşim bağıntısında yerine koyarız: 39 = 20 + 18 + 15 − 7 − 5 − 6 + t = 35 + t, buradan t = 4 bulunur. Bölgeleri yazarak kontrol edebilirsin: yalnız A ve B 3, yalnız A ve C 1, yalnız B ve C 2; yalnız A 12, yalnız B 9, yalnız C 8. Bu bölgeler ile ortadaki 4 toplanınca 39 elde edilir.
Sık yapılan hatalar
- Üç kümenin birleşiminde ortadaki bölgeyi en sonda geri eklemeyi unutmak.
- s(A ∩ B) değerini “yalnız A ve B” bölgesi sanmak; bu değer ortadaki bölgeyi de içerir.
- “En az iki” derken üç kümede birden bulunanları saymamak.
- Üç kümeli şemada kümelerin içinde yedi, dışında bir bölge vardır.
- s(A ∪ B ∪ C) = üç kümenin toplamı − ikili kesişimler + üçlü kesişim.
- Üyelik toplamı − eleman sayısı = tam iki kümedekiler + 2·(üç kümedekiler).