Konu anlatımı
İki kümeden yeni kümeler üretmenin üç temel yolu vardır: kümeleri birleştirmek, ortak elemanları almak ve birinden ötekini çıkarmak. Bu alt başlıkta bu işlemleri, Venn şemasındaki karşılıklarını, işlem özelliklerini ve eleman sayısı bağıntılarını göreceksin.
Tanımlar
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5} için A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, A ∩ B = {3, 4}, A − B = {1, 2} ve B − A = {5} olur. A − B ile B − A farklıdır; fark işleminde sıra önemlidir. Kesişimi boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir: tek sayılar kümesi ile çift sayılar kümesi ayrıktır.
- Birleşim: A ∪ B = {x | x ∈ A veya x ∈ B}; en az bir kümede bulunan elemanlar.
- Kesişim: A ∩ B = {x | x ∈ A ve x ∈ B}; iki kümede de bulunan elemanlar.
- Fark: A − B = {x | x ∈ A ve x ∉ B}; A'da olup B'de olmayan elemanlar.
İşlem özellikleri
Birleşim ve kesişim işlemlerinde değişme ve birleşme özellikleri vardır: A ∪ B = B ∪ A ve (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Dağılma özelliği iki yönde de geçerlidir: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ve A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Bir kümenin kendisiyle birleşimi ve kesişimi yine kendisidir: A ∪ A = A ve A ∩ A = A. Boş kümeyle işlemlerde A ∪ ∅ = A ve A ∩ ∅ = ∅ olur. A ⊂ B ise A ∪ B = B, A ∩ B = A ve A − B = ∅ olur. Fark işleminde değişme özelliği yoktur.
Eleman sayısı bağıntıları
A ∪ B'nin elemanlarını sayarken ortak elemanlar iki kez sayılmamalıdır: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B). Fark için s(A − B) = s(A) − s(A ∩ B) yazılır.
Yalnız A, ortak bölge ve yalnız B, birleşimi üç ayrık parçaya böler: s(A ∪ B) = s(A − B) + s(A ∩ B) + s(B − A). Örneğin s(A) = 12, s(B) = 9 ve s(A ∩ B) = 4 ise s(A ∪ B) = 17, s(A − B) = 8 ve s(B − A) = 5 olur; 8 + 4 + 5 toplamı da 17'dir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A = {x | x, 20'den küçük pozitif bir çift sayıdır} ve B = {x | x, 20'den küçük pozitif bir 3 katıdır} kümeleri veriliyor. s(A ∪ B) ve s(A − B) kaçtır?
Çözüm. A = {2, 4, 6, ..., 18} kümesinin 9, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} kümesinin 6 elemanı vardır. Ortak elemanlar hem çift hem 3'ün katı olan, yani 6'nın katı olan 6, 12 ve 18'dir; s(A ∩ B) = 3. Buna göre s(A ∪ B) = 9 + 6 − 3 = 12 ve s(A − B) = 9 − 3 = 6 bulunur.
Örnek 2. s(A) = 2·s(B), s(A ∪ B) = 26 ve s(A ∩ B) = 7 olduğuna göre s(B − A) kaçtır?
Çözüm. s(B) = b dersek s(A) = 2b olur. Birleşim bağıntısından 2b + b − 7 = 26, yani 3b = 33 ve b = 11 bulunur. s(B − A) = s(B) − s(A ∩ B) = 11 − 7 = 4'tür. Kontrol: s(A − B) = 22 − 7 = 15 ve 15 + 7 + 4 = 26.
Sık yapılan hatalar
- s(A ∪ B) = s(A) + s(B) yazmak; ortak elemanlar iki kez sayılmış olur.
- A − B ile B − A'yı aynı küme sanmak.
- “ve” ile “veya” bağlaçlarını karıştırmak; kesişim “ve”, birleşim “veya” ile kurulur.
- Birleşim “en az birinde”, kesişim “ikisinde de”, A − B “A'da olup B'de olmayan” demektir.
- s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B).
- s(A − B) = s(A) − s(A ∩ B).