Konu anlatımı
Bir kümenin elemanlarından seçilerek oluşturulan kümelere o kümenin alt kümeleri denir. Bu alt başlıkta alt küme ve öz alt küme kavramlarını, alt kümenin özelliklerini, iki kümenin eşitliğini ve alt küme sayısını veren 2ⁿ kuralını nedeniyle birlikte göreceksin.
Tanım ve özellikler
A'nın her elemanı B'nin de elemanıysa A kümesi B'nin alt kümesidir ve A ⊂ B ya da A ⊆ B yazılır. A'nın B'de bulunmayan en az bir elemanı varsa A, B'nin alt kümesi değildir ve A ⊈ B yazılır. Örneğin {2, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4} doğrudur, ama {2, 5} ⊈ {1, 2, 3, 4} olur, çünkü 5 ikinci kümede yoktur.
Her küme kendisinin alt kümesidir: A ⊂ A. Boş küme her kümenin alt kümesidir: ∅ ⊂ A. Alt küme bağıntısı geçişlidir: A ⊂ B ve B ⊂ C ise A ⊂ C olur. Eleman ile alt küme sembollerini karıştırma: 2 ∈ {1, 2} doğrudur, {2} ⊂ {1, 2} de doğrudur, ama bir sayı için ⊂ sembolü kullanılmaz.
Eşit kümeler
A ⊂ B ve B ⊂ A ise A ile B aynı elemanlardan oluşur ve A = B yazılır. {x | x² = 4} ile {−2, 2} eşit kümelerdir. İki kümenin eleman sayılarının eşit olması, kümelerin eşit olması için yetmez: {1, 2} ile {3, 4} kümelerinin ikisi de iki elemanlıdır ama eşit değildir.
Alt küme sayısı
n elemanlı bir kümenin alt kümelerini oluştururken her eleman için iki seçenek vardır: alt kümeye girer ya da girmez. Seçenekler çarpılınca 2·2·...·2 = 2ⁿ alt küme elde edilir; boş küme ve kümenin kendisi de bu sayıya dahildir. Kümenin kendisinden farklı alt kümelere öz alt küme denir ve sayıları 2ⁿ − 1'dir. {a, b, c} kümesinin 2³ = 8 alt kümesi vardır: ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} ve {a, b, c}. Bunların 7'si öz alt kümedir.
Bazı elemanların alt kümede mutlaka bulunması, bazılarının hiç bulunmaması istenirse bu elemanların seçeneği kalmaz; yalnızca serbest kalan elemanlar için iki seçenek sayılır. 6 elemanlı bir kümede belirli bir eleman kesin bulunacak ve başka bir eleman hiç bulunmayacaksa 4 eleman serbesttir ve 2⁴ = 16 alt küme vardır. Belirli sayıda elemanı olan alt kümeleri saymak ise kombinasyon gerektirir; bu soru tipi Permütasyon ve Kombinasyon sayfasında ele alınır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde a ve b elemanları bulunur, c elemanı bulunmaz?
Çözüm. a ve b her alt kümede yer alacak, c hiçbirinde yer almayacak; bu üç elemanın seçeneği yoktur. Geriye d, e, f ve g olmak üzere 4 serbest eleman kalır ve her biri alt kümeye girer ya da girmez. Alt küme sayısı 2⁴ = 16'dır.
Örnek 2. Bir kümenin eleman sayısı 2 artırılınca alt küme sayısı 48 artıyor. Bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm. Küme n elemanlıysa alt küme sayısı 2ⁿ'den 2ⁿ⁺² = 4·2ⁿ'ye çıkar. Artış 4·2ⁿ − 2ⁿ = 3·2ⁿ olur. 3·2ⁿ = 48 eşitliğinden 2ⁿ = 16 ve n = 4 bulunur. Kontrol: 4 elemanlı kümenin 16, 6 elemanlı kümenin 64 alt kümesi vardır ve fark 48'dir.
Sık yapılan hatalar
- Alt küme sayısına boş kümeyi ya da kümenin kendisini katmamak.
- ∈ ile ⊂ sembollerini karıştırmak: bir eleman ∈ ile, bir küme ⊂ ile yazılır.
- Eleman sayıları eşit olan kümeleri eşit kümeler sanmak.
- Her A kümesi için ∅ ⊂ A ve A ⊂ A doğrudur.
- n elemanlı kümenin alt küme sayısı 2ⁿ, öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1'dir.
- Koşullu sayımda yalnızca serbest elemanlar için iki seçenek say.
- A ⊂ B ve B ⊂ A ise A = B'dir.