Konu anlatımı
Karışım problemleri, içinde belli bir madde bulunan bir karışıma su ya da madde eklendiğinde, karışımın bir kısmı alındığında ya da iki karışım birleştirildiğinde maddenin oranının nasıl değiştiğini sorar. Tuzlu su, şekerli su gibi sıvılar ve farklı fiyatlı ürünlerin karışımları bu konunun tipik örnekleridir.
Konunun tek bir anahtarı vardır: Her adımda karışımdaki saf madde miktarını ve karışımın toplam miktarını ayrı ayrı izlemek. Bu sayfada bu yöntemi temel durumlarda göreceksin; her durumun ayrıntısı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Madde miktarı ve oran
Bir karışımda saf maddenin karışımın tamamına oranına karışımın yüzdesi denir. %20 şekerli 50 kg karışımda 50·0,2 = 10 kg şeker ve 40 kg su vardır. Temel eşitlik madde = toplam·oran'dır; aynı eşitlik oran = madde ÷ toplam olarak da okunur. Karışım sorularında bu eşitliği her adımda yeniden yazarsın.
Su eklemek ve buharlaştırmak
Karışıma saf su eklenince ya da karışımdan su buharlaştırılınca madde miktarı değişmez; yalnızca toplam değişir. %20 şekerli 50 kg karışıma 30 kg su eklenirse 10 kg şeker 80 kg karışımda kalır ve oran 10/80 = %12,5 olur. Aynı karışımdan 10 kg su buharlaştırılırsa 10 kg şeker 40 kg karışımda kalır ve oran %25'e çıkar.
Saf madde eklemek
Karışıma saf madde eklenince hem madde hem toplam aynı miktarda artar. %10 şekerli 40 kg karışıma 10 kg şeker eklenirse şeker 4 + 10 = 14 kg, toplam 50 kg olur ve oran 14/50 = %28'e çıkar. Bu sırada değişmeyen tek şey su miktarıdır; bu gözlem çoğu soruyu kısaltır.
İki karışımı birleştirmek
İki karışım birleştirilince yeni karışımdaki madde, iki karışımdaki maddelerin toplamıdır; toplam miktar da iki miktarın toplamıdır. %10 tuzlu 30 kg su ile %30 tuzlu 20 kg su karıştırılırsa tuz 3 + 6 = 9 kg, toplam 50 kg ve oran 9/50 = %18 olur. Sonuç her zaman iki yüzdenin arasındadır ve miktarı çok olan karışımın yüzdesine daha yakındır.
Karışımdan alıp yerine koymak
Karışımdan bir miktar alındığında alınan kısım karışımla aynı oranda madde içerir; bu yüzden geride kalan karışımın oranı değişmez, yalnızca miktarı azalır. Alınan kısmın yerine su konursa toplam eski hâline döner, ama madde azalmıştır ve oran düşer.
Fiyat karışımları
Farklı fiyatlı ürünler karıştırıldığında karışımın kilogram fiyatı, toplam tutarın toplam miktara bölünmesiyle bulunur. Kilogramı 300 TL olan 4 kg kahve ile kilogramı 200 TL olan 6 kg kahve karıştırılırsa toplam tutar 1200 + 1200 = 2400 TL, karışımın kilogram fiyatı 2400 ÷ 10 = 240 TL olur. Bu hesap, yüzdeli karışımlardaki mantığın aynısıdır: madde yerine tutar izlenir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. %25'i tuz olan 80 g tuzlu suya kaç gram su eklenirse tuz oranı %20 olur?
Çözüm. Karışımda 80·0,25 = 20 g tuz vardır ve su eklenince bu miktar değişmez. Tuz oranının %20 olması için toplam 20 ÷ 0,2 = 100 g olmalıdır. Karışım 80 g olduğundan 100 − 80 = 20 g su eklenmelidir.
Örnek 2. %30 şekerli 40 kg karışım ile %50 şekerli 60 kg karışım birleştiriliyor. Yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?
Çözüm. Birinci karışımda 40·0,3 = 12 kg, ikincide 60·0,5 = 30 kg şeker vardır. Yeni karışımda 12 + 30 = 42 kg şeker ve 40 + 60 = 100 kg toplam bulunur. Oran 42/100 = %42'dir; yüzdelerin basit ortalaması olan %40 değildir, çünkü %50'lik karışımdan daha çok konmuştur.
Örnek 3. %40 şekerli 50 kg karışımdan kaç kg su buharlaştırılırsa şeker oranı %50 olur?
Çözüm. Karışımda 50·0,4 = 20 kg şeker vardır ve buharlaşma bu miktarı değiştirmez. Oranın %50 olması için toplam 20 ÷ 0,5 = 40 kg olmalıdır. 50 − 40 = 10 kg su buharlaştırılmalıdır.
Örnek 4. Kilogramı 160 TL olan fındıktan 6 kg ile kilogramı 220 TL olan fıstıktan 4 kg karıştırılıyor. Karışımın kilogram fiyatı kaç TL'dir?
Çözüm. Toplam tutar 6·160 + 4·220 = 960 + 880 = 1840 TL, toplam miktar 10 kg'dır. Karışımın kilogram fiyatı 1840 ÷ 10 = 184 TL'dir. İki fiyatın basit ortalaması 190 TL'dir; fındıktan daha çok konduğu için karışım fiyatı fındık fiyatına daha yakındır.
Sık yapılan hatalar
- Su eklerken ya da buharlaştırırken madde miktarını da değiştirmek.
- İki karışımın yüzdelerinin basit ortalamasını almak.
- Saf madde eklerken toplam miktarı artırmayı unutmak.
- Karışımdan alınan kısmın yalnızca su olduğunu sanmak; alınan kısım aynı oranda madde içerir.
- Fiyat karışımında kilogram fiyatlarının basit ortalamasını almak.
- Madde = toplam·oran; her adımda maddeyi ve toplamı ayrı izle.
- Su eklemek ve buharlaştırmak maddeyi değiştirmez.
- Saf madde eklemek maddeyi ve toplamı aynı miktarda artırır; su miktarı sabit kalır.
- Birleştirmede maddeler ve toplamlar ayrı ayrı toplanır; sonuç iki yüzdenin arasındadır.
- Fiyat karışımında toplam tutarı toplam miktara böl.