Konu anlatımı
İşçi problemleri, bir işi tek başına ya da birlikte yapan kişilerin ve makinelerin işi ne kadar sürede bitireceğini sorar. Hepsinin temelinde iş hızı kavramı vardır: Bir işi 6 günde bitiren bir işçi bir günde işin 1/6'sını yapar. Birden fazla işçi aynı anda çalıştığında hızları toplanır; bu basit fikir konunun neredeyse bütün sorularını çözer.
Bu sayfada iş hızını, birlikte ve sırayla çalışmayı, işçi sayısıyla süre arasındaki ilişkiyi ve makine problemlerini göreceksin. Musluk ve havuz problemleri de aynı hız mantığıyla çözülür, ancak 2018 ortaöğretim matematik programında yer almadıkları için bu sayfada işçi ve makine problemleri ele alınır.
İş hızı
Bütün iş 1 kabul edilir. Bir işi tek başına t günde bitiren işçinin iş hızı günde 1/t iştir; yani bir günde işin 1/t'sini yapar. Yapılan iş = iş hızı × süre bağıntısı, hareket problemlerindeki yol = hız × zaman bağıntısının aynısıdır. Bir işi 8 günde bitiren işçi 3 günde işin 3/8'ini yapar ve geriye 5/8'i kalır.
Birlikte çalışma
Aynı anda çalışan işçilerin hızları toplanır. İşi tek başına a günde bitiren A ile b günde bitiren B birlikte t günde bitiriyorsa 1/a + 1/b = 1/t'dir. 6 ve 12 günde bitiren iki işçinin hızları toplamı 1/6 + 1/12 = 3/12 = 1/4 olduğundan birlikte 4 günde bitirirler. Birlikte çalışma süresi her zaman en hızlı işçinin tek başına süresinden kısadır.
Hız oranları
“A, B'den 2 kat hızlı çalışıyor” bilgisi A'nın hızını 2k, B'nin hızını k yapar; A aynı işi B'nin yarısı kadar sürede bitirir. Aynı iş için hız ile süre ters orantılıdır: Hızları oranı 3 : 2 olan iki işçinin işi bitirme süreleri oranı 2 : 3'tür.
Kısmen ve sırayla çalışma
İşçiler işin farklı bölümlerinde çalışıyorsa her işçinin yaptığı iş ayrı ayrı hesaplanır ve toplamları 1'e eşitlenir: A'nın x gün, B'nin y gün çalıştığı bir işte x/a + y/b = 1 yazılır. Sırayla çalışmada önce bir tam turda yapılan iş bulunur; kaç tam tur gerektiği ve kalan işi kimin bitireceği buradan belirlenir.
İşçi sayısı ve süre
Eşit hızda çalışan işçilerde işçi sayısı ile bitirme süresi ters orantılıdır: 6 işçinin 10 günde bitirdiği işi 12 işçi 5 günde bitirir. Bu yüzden işin büyüklüğü işçi·gün çarpımıyla ölçülebilir; günlük çalışma saati de değişiyorsa işçi·gün·saat çarpımı kullanılır.
Makineler
Makine problemlerinde hız çoğu zaman saatte üretilen parça sayısıyla verilir: Saatte 40 parça üreten bir makine 6 saatte 240 parça üretir. Birlikte çalışan makinelerin hızları yine toplanır. Hız “bir işi kaç saatte bitirir” biçiminde verilmişse işçi problemlerindeki gibi işin tamamı 1 alınır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir işi Ahmet tek başına 10 günde, Burak 15 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte bu işi kaç günde bitirir?
Çözüm. Ahmet günde işin 1/10'unu, Burak 1/15'ini yapar. Birlikte bir günde 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 iş yaparlar. Günde işin 1/6'sını yapan bir ekip işi 6 günde bitirir. Sonuç, hızlı olan Ahmet'in tek başına süresi olan 10 günden kısadır.
Örnek 2. A işçisi B işçisinden 2 kat hızlı çalışıyor. İkisi birlikte bir işi 8 günde bitiriyor. B bu işi tek başına kaç günde bitirir?
Çözüm. B'nin günlük hızına k dersek A'nınki 2k'dir; birlikte günde 3k iş yaparlar. 8 günde iş bittiğine göre 3k·8 = 1 ve k = 1/24'tür. B günde işin 1/24'ünü yaptığı için işi tek başına 24 günde bitirir; A ise 12 günde bitirir.
Örnek 3. Bir işi A tek başına 12 günde, B 18 günde bitiriyor. A işe başlayıp 4 gün çalışıyor, sonra işi B tek başına tamamlıyor. B kaç gün çalışmıştır?
Çözüm. A 4 günde işin 4/12 = 1/3'ünü yapar; geriye 2/3 iş kalır. B günde işin 1/18'ini yaptığı için kalan işi (2/3) ÷ (1/18) = (2/3)·18 = 12 günde bitirir. Kontrol: 4/12 + 12/18 = 1/3 + 2/3 = 1.
Örnek 4. Aynı hızda çalışan 12 işçi, günde 5 saat çalışarak bir işi 16 günde bitiriyor. Aynı hızda çalışan 8 işçi günde 6 saat çalışırsa bu işi kaç günde bitirir?
Çözüm. İşin büyüklüğü 12·5·16 = 960 işçi·saattir. 8 işçi günde 6 saat çalışınca bir günde 8·6 = 48 işçi·saat iş yapar. İş 960 ÷ 48 = 20 günde biter. İşçi sayısı azaldığı için süre uzamış, günlük saat arttığı için bu uzama biraz azalmıştır.
Sık yapılan hatalar
- Süreleri toplamak: 6 ve 12 günde bitiren işçilerin birlikte 18 ya da 9 günde bitireceğini sanmak; hızlar toplanır, süreler toplanmaz.
- Hız oranından süre oranına geçerken oranı ters çevirmeyi unutmak.
- Bir işçi işin bir kısmını yaptıktan sonra kalan işi 1 sanmak; kalan iş 1 − yapılan iştir.
- İşçi sayısı artınca sürenin de arttığını sanmak; eşit hızlı işçilerde ikisi ters orantılıdır.
- Makine sorularında parça sayısı ile iş kesrini karıştırmak.
- Bütün iş 1'dir; t günde bitiren işçinin günlük hızı 1/t'dir.
- Yapılan iş = hız × süre.
- Birlikte çalışırken hızlar toplanır: 1/a + 1/b = 1/t.
- Aynı iş için hız ile süre ters orantılıdır.
- Eşit hızlı işçilerde işin büyüklüğü işçi·gün, gerekirse işçi·gün·saat ile ölçülür.