Konu anlatımı
Sayı ve kesir problemlerinde bir durum sözcüklerle anlatılır ve senden bilinmeyen bir sayıyı bulman istenir. İşin büyük kısmı matematikten önce dilde başlar: “3 katının 5 fazlası”, “kalanın yarısı”, “dörder verilirse 6 tane artıyor” gibi ifadeleri doğru cebirsel dile çevirebildiğinde geriye çoğunlukla basit bir denklem kalır.
Bu sayfada sözel ifadeleri denkleme çevirmeyi, kesirlerle verilen parça-bütün ilişkilerini, kalanın kesri problemlerini ve tersten çözüm gibi pratik yolları göreceksin. Dağıtma, para ve kap problemleri gibi sık karşılaşılan türler alt başlıklarda ayrıntılı olarak ele alınıyor.
Bilinmeyeni seçmek
Önce neyin bilinmediğine karar verir ve ona bir harf verirsin. En iyi seçim çoğu zaman öbür çoklukların kendisine göre anlatıldığı çokluktur. “Ali'nin parası Ayşe'ninkinin 3 katından 20 TL eksiktir” cümlesinde Ayşe'nin parasına x dersen Ali'nin parası 3x − 20 olur. Tersini seçseydin Ayşe'nin parası (x + 20)/3 olurdu ve kesirli bir denklemle uğraşırdın.
Sözel ifadelerin cebirdeki karşılıkları
İfadede hangi işlemin önce yapıldığına dikkat et: “5 fazlasının 3 katı” cümlesinde önce 5 eklenir, sonra 3 ile çarpılır. Türkçede tamlamalar sondan başa doğru okunduğu için en içteki işlem cümlenin başındadır.
- Bir sayının 3 katı: 3x; 3 katının 5 fazlası: 3x + 5; 5 fazlasının 3 katı: 3(x + 5).
- Bir sayının yarısı: x/2; üçte ikisi: 2x/3.
- a, b'den 7 fazladır: a = b + 7 ya da a − b = 7.
- Toplamları 40 olan iki sayı: x ve 40 − x.
- Bir sayının çarpmaya göre tersi 1/x, toplamaya göre tersi −x'tir.
Kesir problemlerinde bütün ve parça
Bir bütünün a/b'si, bütün b eş parçaya bölünüp a parçası alınınca elde edilir. Bu yüzden bütünü b'nin katı seçmek hesapları kolaylaştırır: Bir kitabın 3/8'i okunduysa kitabı 8x sayfa, okunan kısmı 3x sayfa alırsın. Parça verilip bütün sorulduğunda parça kesre bölünür: 3/8'i 120 sayfa olan kitap 120 ÷ 3/8 = 320 sayfadır.
Kalanın kesri
“Parasının 1/3'ünü harcadı, kalanın 1/4'ünü de...” gibi ifadelerde ikinci kesir bütüne değil, ilk işlemden sonra kalan miktara uygulanır. 1/3'ü harcanınca 2/3'ü kalır; kalanın 1/4'ü harcanınca bunun 3/4'ü kalır. Son durumda bütünün 2/3·3/4 = 1/2'si kalmış olur. Bütünü paydaların çarpımı ya da EKOK'u kadar parça seçmek işlemleri tam sayılara çevirir.
Tersten çözüm
Bir sayıya sırasıyla işlemler uygulanıp yalnızca sonuç verildiğinde sondan başa doğru ters işlemler uygulanır: ekleme yerine çıkarma, çarpma yerine bölme. En son yapılan işlem ilk geri alınır. Kalanın kesri problemlerinde de son kalan miktardan geriye doğru gitmek çoğu zaman en hızlı yoldur.
Dağıtma ve iki çeşit nesne
Bir miktar eşya bir gruba farklı sayılarda dağıtıldığında bir biçimde eşya artar, başka bir biçimde eksik kalır. Kişi sayısına n dersen eşya sayısını iki dağıtımdan ayrı ayrı yazıp eşitlersin. Değerleri farklı iki çeşit nesnenin, örneğin iki tür madeni paranın ya da iki tür biletin, toplam adedi ve toplam değeri verildiğinde ise iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurulur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Toplamları 52 olan iki sayıdan büyüğü, küçüğünün 3 katından 4 fazladır. Büyük sayı kaçtır?
Çözüm. Büyük sayı küçük sayıya göre anlatıldığı için küçük sayıya x deriz; büyük sayı 3x + 4 olur. Toplam x + 3x + 4 = 52, yani 4x = 48 ve x = 12'dir. Büyük sayı 3·12 + 4 = 40'tır. Kontrol: 12 + 40 = 52.
Örnek 2. Bir kitabın önce 1/4'ü, sonra kalanın 2/5'i okunuyor. Geriye 90 sayfa kaldığına göre kitap kaç sayfadır?
Çözüm. İlk adımda kitabın 3/4'ü kalır. İkinci adımda kalanın 2/5'i okunduğu için kalanın 3/5'i kalır. Son kalan, kitabın 3/4·3/5 = 9/20'sidir. 9/20'si 90 sayfa olan kitabın 1/20'si 10 sayfa, tamamı 200 sayfadır. Kontrol: 200 sayfanın 50'si okunur, 150 kalır; 150'nin 60'ı okunur, 90 kalır.
Örnek 3. Bir sayı 3 ile çarpılıyor, sonuca 6 ekleniyor, çıkan sayı 4'e bölünüyor ve 2 çıkarılıyor. Sonuç 7 olduğuna göre başlangıçtaki sayı kaçtır?
Çözüm. Sondan başa ters işlemlerle gideriz. Son işlem 2 çıkarmaktı: 7 + 2 = 9. Ondan önce 4'e bölünmüştü: 9·4 = 36. Ondan önce 6 eklenmişti: 36 − 6 = 30. İlk işlem 3 ile çarpmaktı: 30 ÷ 3 = 10. Başlangıçtaki sayı 10'dur.
Örnek 4. Bir öğretmen elindeki kalemleri öğrencilere 3'er dağıtırsa 8 kalem artıyor, 5'er dağıtırsa 12 kalem eksik kalıyor. Öğretmenin kaç kalemi vardır?
Çözüm. Öğrenci sayısına n deriz. Birinci dağıtıma göre kalem sayısı 3n + 8, ikinciye göre 5n − 12'dir. Kalem sayısı aynı olduğu için 3n + 8 = 5n − 12, yani 2n = 20 ve n = 10'dur. Kalem sayısı 3·10 + 8 = 38'dir.
Sık yapılan hatalar
- “3 katının 5 fazlası” ile “5 fazlasının 3 katı” ifadelerini karıştırmak: 3x + 5 ile 3(x + 5) farklıdır.
- Kalanın kesrini bütünden hesaplamak.
- Parça verilip bütün sorulduğunda parçayı kesirle çarpmak; bütünü bulmak için kesre bölünür.
- Tersten çözümde işlemlerin sırasını ya da ters işlemleri karıştırmak.
- Bulunan değerin sorunun sorduğu çokluk olup olmadığını kontrol etmemek.
- Bilinmeyeni, öbür çoklukların kendisine göre anlatıldığı çokluğa ver.
- “Fazlası” toplama, “eksiği” çıkarma, “katı” ve “kesri” çarpma demektir; işlem sırasını cümle belirler.
- Bütünü kesrin paydasının katı seçersen hesaplar tam sayılarla yürür.
- Kalanın kesrinde kalan oranları çarp: önce 2/3'ü, sonra kalanın 3/4'ü kalırsa bütünün 1/2'si kalır.
- Sonuç verilip başlangıç soruluyorsa sondan başa ters işlemlerle git.