Konu anlatımı
Bazı problemlerde başlangıçtaki sayı bilinmez, ama ona uygulanan işlemler ve en sondaki sonuç bilinir. Böyle durumlarda denklem kurmak yerine sondan başa yürümek çoğu zaman daha hızlı ve daha az hatalıdır. Bu alt başlıkta ters işlemlerle geriye gitmeyi ve bu yöntemi kalanın kesri problemlerinde kullanmayı öğreneceksin.
Ters işlemler ve sıra
Her işlemin onu geri alan bir tersi vardır: toplamanın tersi çıkarma, çarpmanın tersi bölmedir. Sonuçtan başlayıp işlemleri ters sırayla ve ters işlemlerle uygularsan başlangıç sayısına ulaşırsın. “Bir sayının 2 katının 6 fazlası 30'dur” bilgisinde son işlem 6 eklemek olduğu için önce 6 çıkarılır: 24; sonra 2'ye bölünür: 12.
Sıra çok önemlidir. Giyinirken önce çorabı, sonra ayakkabıyı giyersin; soyunurken önce ayakkabıyı, sonra çorabı çıkarırsın. Tersten çözüm de böyledir: En son yapılan işlem ilk geri alınır.
Kalanın kesrinde geriye gitmek
Kalanın kesri problemlerinde her adımda kalan miktar, bir önceki miktarın belli bir kesridir. Bir miktarın 1/4'ü harcanınca 3/4'ü kalır; kalan biliniyorsa önceki miktar kalanın 4/3'üdür. Son kalandan başlayıp her adımda kalanı kalan kesre bölerek başa dönersin. Bir adımda kesrin yanında sabit bir miktar da harcanıyorsa önce o miktar geri eklenir, sonra kesir geri alınır.
Tur problemleri
Bir oyunda her turda aynı işlemler tekrarlanıyorsa, örneğin puan ikiye katlanıp sonra belli bir miktar düşülüyorsa, en kısa yol yine geriye gitmektir. Her tur için “düşülen miktarı geri ekle, sonra ikiye böl” adımını tur sayısı kadar tekrarlarsın. Denklemle çözmek de mümkündür, ama tur sayısı arttıkça ifade uzar ve hata ihtimali büyür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir sayının yarısına 7 ekleniyor, sonuç 3 ile çarpılıyor ve 15 çıkarılıyor. Sonuç 36 olduğuna göre sayı kaçtır?
Çözüm. Sondan başlarız. 15 çıkarılmıştı: 36 + 15 = 51. 3 ile çarpılmıştı: 51 ÷ 3 = 17. 7 eklenmişti: 17 − 7 = 10. Bu, sayının yarısıydı: 10·2 = 20. Kontrol: 20'nin yarısı 10, 10 + 7 = 17, 17·3 = 51 ve 51 − 15 = 36.
Örnek 2. Elif parasının 1/3'ünü kitaba harcıyor, kalanın 1/4'ünden 10 TL fazlasını kırtasiyeye veriyor ve 80 TL'si kalıyor. Elif'in başlangıçta kaç TL'si vardı?
Çözüm. Kırtasiyeden önceki miktara R dersek kırtasiyeye R/4 + 10 gider ve 3R/4 − 10 = 80 kalır. Geriye gideriz: Önce 10 TL geri eklenir, 90 TL bulunur; 90 TL, R'nin 3/4'üdür, yani R = 120 TL. Kitaptan sonra paranın 2/3'ü kaldığı için 120 TL başlangıçtaki paranın 2/3'üdür; başlangıçta 180 TL vardı.
Örnek 3. Bir oyunda her turun sonunda oyuncunun puanı ikiye katlanıyor, sonra 10 puan düşülüyor. Üç tur sonunda oyuncunun 50 puanı olduğuna göre başlangıçta kaç puanı vardı?
Çözüm. Her turu geri alırken önce 10 puanı geri ekler, sonra ikiye böleriz. Üçüncü turdan önce (50 + 10)/2 = 30, ikinci turdan önce (30 + 10)/2 = 20, birinci turdan önce (20 + 10)/2 = 15 puan vardı. Kontrol: 15 → 20 → 30 → 50.
Sık yapılan hatalar
- İşlemleri ters sırayla değil, verilen sırayla geri almak.
- Kalanın kesrinde geriye giderken kalanı harcanan kesirle çarpmak: 3/4'ü kalan bir miktarın öncesi kalanın 4/3'üdür.
- Sabit miktar içeren adımda kesri geri almadan önce sabit miktarı geri eklememek.
- En son yapılan işlemi ilk geri al.
- Toplamanın tersi çıkarma, çarpmanın tersi bölmedir.
- Kalan biliniyorsa önceki miktar = kalan ÷ kalan kesri.