Konu anlatımı
Bir kumbaradaki madeni paralar, bir gösteride satılan tam ve öğrenci biletleri ya da bir alışverişte alınan iki çeşit ürün gibi durumlarda genellikle iki bilgi verilir: toplam adet ve toplam tutar. Bu alt başlıkta bu iki bilgiden denklem kurmayı ve aynı soruyu tek bir akıl yürütmeyle hızlıca çözmeyi öğreneceksin.
Adet ve tutar denklemleri
Bir kumbarada 1 TL'lik ve 5 TL'lik toplam 30 madeni para ve toplam 78 TL varsa 1 TL'liklerin sayısına x, 5 TL'liklerin sayısına y dersen adet denklemi x + y = 30, tutar denklemi x + 5y = 78 olur. İkinciden birinciyi çıkarınca 4y = 48, y = 12 ve x = 18 bulunur.
Aynı soru tek bilinmeyenle de kurulabilir: 5 TL'liklere y dersen 1 TL'likler 30 − y olur ve (30 − y) + 5y = 78 yazılır.
Hepsi aynı türden olsaydı
Denklem kurmadan şöyle düşünebilirsin: 30 paranın hepsi 1 TL'lik olsaydı kumbarada 30 TL olurdu. Gerçekte 78 TL var, yani 48 TL fazla. Bir 1 TL'liği 5 TL'likle değiştirmek tutarı 4 TL artırdığına göre 48 ÷ 4 = 12 tane 5 TL'lik vardır. Aynı düşünce, puanları farklı doğru ve yanlış cevaplar ya da bacak sayıları farklı iki tür hayvan içeren sorularda da işe yarar.
Bilet ve fiyat problemleri
Bir gösteride tam bilet 80 TL'ye, öğrenci bileti 50 TL'ye satılmış ve 200 biletten 13 300 TL gelir elde edilmişse öğrenci biletlerine x dersen 80(200 − x) + 50x = 13 300 olur. Buradan 16 000 − 30x = 13 300, 30x = 2700 ve x = 90 bulunur; 110 tam bilet satılmıştır. Hepsi tam bilet olsaydı gelir 16 000 TL olurdu; her öğrenci bileti geliri 30 TL azalttığı için 2700 ÷ 30 = 90 öğrenci bileti satılmıştır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir cüzdanda 10 TL'lik ve 20 TL'lik toplam 25 banknot vardır. Cüzdandaki para 390 TL olduğuna göre kaç tane 20 TL'lik vardır?
Çözüm. Banknotların hepsi 10 TL'lik olsaydı 250 TL olurdu. Gerçek tutar 390 − 250 = 140 TL fazladır. Bir 10 TL'liği 20 TL'likle değiştirmek tutarı 10 TL artırdığından 140 ÷ 10 = 14 tane 20 TL'lik vardır. Kontrol: 11·10 + 14·20 = 110 + 280 = 390.
Örnek 2. Bir sınavda her doğru cevap 4 puan kazandırıyor, her yanlış cevap 1 puan kaybettiriyor. 40 sorunun hepsini cevaplayan bir öğrenci 110 puan aldığına göre kaç soruyu doğru cevaplamıştır?
Çözüm. Doğru sayısına d, yanlış sayısına y dersek d + y = 40 ve 4d − y = 110 olur. İki denklemi toplayınca 5d = 150 ve d = 30 bulunur; yanlış sayısı 10'dur. Kontrol: 4·30 − 10 = 110. Bir doğruyu yanlışa çevirmek puanı 5 azalttığı için hepsi doğru olsaydı alınacak 160 puandan 50 eksik olması 10 yanlış demektir.
Sık yapılan hatalar
- Adet denklemi ile tutar denklemini karıştırmak: x + y toplam adettir, toplam tutar değildir.
- Hepsini aynı türden sayınca oluşan farkı, iki türün değer farkına bölmeyi unutmak.
- Bulunan bilinmeyenin hangi türe ait olduğunu karıştırmak.
- Toplam adet ve toplam tutar iki ayrı denklem verir.
- Hepsini ucuz türden say; fazlalığı değer farkına bölünce pahalı türün sayısını bulursun.
- Aynı model bilet, puan ve bacak sayısı sorularında da geçerlidir.