Bölme ve Bölünebilme konu anlatımı

Konu anlatımı

Bölme ve bölünebilme, bir sayıyı başka bir sayıya böldüğünde neler olduğunu inceler: bölüm ne olur, kalan ne olur ve kalan ne zaman sıfırdır? Bölünebilme kuralları, büyük bir sayının belirli bir sayıya bölünüp bölünmediğini bölme işlemi yapmadan, yalnızca rakamlarına bakarak anlamanı sağlar.

Bu sayfada önce bölme işleminin temel eşitliğini, sonra bölünebilme kurallarını ve bir sayının pozitif bölenlerini saymayı göreceksin. Her kuralın nereden geldiği, ayrıntılı açıklaması ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.

Bölme işlemi ve kalan

A sayısı B'ye bölündüğünde bölüm C, kalan K ise A = B·C + K eşitliği yazılır. Burada A bölünen, B bölen, C bölüm, K kalandır ve kalan her zaman 0 ≤ K ≤ B − 1 aralığındadır. Kalan 0 ise A, B'ye tam bölünür; yani A, B'nin bir katıdır.

Kalanın bölenden küçük olması iki önemli sonuç verir. Bir sayı B'ye bölündüğünde en çok B − 1 kalanını verebilir. Ayrıca A'nın B'ye bölümünden kalan K ise A − K sayısı B'ye tam bölünür; bölen bulma sorularının çoğu bu gözleme dayanır.

Son basamaklara bakılan kurallar: 2, 4, 8, 5 ve 10

10 sayısı 2'ye ve 5'e bölündüğü için bir sayının 2 ve 5 ile bölünebilmesi yalnızca birler basamağına bağlıdır. 100 sayısı 4'e, 1000 sayısı 8'e bölündüğü için 4 ile bölünebilmede son iki basamağa, 8 ile bölünebilmede son üç basamağa bakılır.

• 2: birler basamağı 0, 2, 4, 6 ya da 8 olmalıdır.
• 5: birler basamağı 0 ya da 5 olmalıdır.
• 10: birler basamağı 0 olmalıdır.
• 4: son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'e bölünmelidir.
• 8: son üç basamağın oluşturduğu sayı 8'e bölünmelidir.

Rakamlar toplamına bakılan kurallar: 3 ve 9

10, 100, 1000 gibi sayıların her biri 9'un bir katından 1 fazladır: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. Bu yüzden bir sayının 3'e ve 9'a bölümünden kalan, rakamları toplamının 3'e ve 9'a bölümünden kalana eşittir. Rakamları toplamı 3'e bölünen sayı 3'e, 9'a bölünen sayı 9'a tam bölünür.

11 ile bölünebilme

Birler basamağından başlayarak rakamlara sırasıyla +, −, +, − işaretleri verilir ve bu işaretlerle toplam alınır. Toplam 0 ya da 11'in bir katıysa sayı 11'e tam bölünür. Kural, 10'un 11'in bir katından 1 eksik, 100'ün 1 fazla, 1000'in yine 1 eksik olmasından gelir: 10 = 11 − 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 1001 − 1.

Bileşik sayılarla bölünebilme ve bölen sayısı

Bir sayının 6'ya bölünmesi için hem 2'ye hem 3'e bölünmesi gerekir. Genel olarak bölen, aralarında asal çarpanlara ayrılır ve sayının her çarpana bölünüp bölünmediği kontrol edilir: 12 = 3·4, 15 = 3·5, 18 = 2·9, 36 = 4·9, 45 = 5·9. Çarpanların aralarında asal olması şarttır; 12 için 2 ve 6'ya bakmak yetmez, çünkü 18 sayısı 2'ye ve 6'ya bölündüğü hâlde 12'ye bölünmez.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırıp N = aˣ·bʸ·cᶻ biçiminde yazdığında pozitif bölen sayısı (x + 1)(y + 1)(z + 1) olur. Örneğin 72 = 2³·3² sayısının (3 + 1)(2 + 1) = 12 pozitif böleni vardır.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• Kalanın bölenden küçük olması gerektiğini unutmak; 7'ye bölümden kalan 7 ya da daha büyük olamaz.
• Bileşik sayılarla bölünebilmede aralarında asal olmayan çarpanlara bakmak: 12 için 2 ve 6 yerine 3 ve 4 kontrol edilir.
• 11'e bölümden kalanı bulurken işaretleri soldan başlatmak; kalan için işaretler birler basamağından + ile başlar.
• Bölen sayısı formülünde üslere 1 eklemeyi unutmak.