Konu anlatımı
3 ve 9 ile bölünebilme kuralları sayının bütün rakamlarına bakar ve rakamların toplamı yeterli bilgiyi verir. Bu alt başlıkta kuralın nedenini, kalan hesaplamayı ve rakamı bilinmeyen sayılarla kurulan soruları göreceksin.
Kuralın nedeni
10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1 olduğundan 10'un her kuvveti 9'un bir katından 1 fazladır. Örneğin 4725 = 4·1000 + 7·100 + 2·10 + 5 sayısını 4·999 + 7·99 + 2·9 + (4 + 7 + 2 + 5) biçiminde yazabilirsin. Parantez dışındaki terimlerin hepsi 9'un, dolayısıyla 3'ün de katıdır; kalanı yalnızca rakamlar toplamı belirler.
Bu yüzden bir sayının 9'a bölümünden kalan, rakamları toplamının 9'a bölümünden kalana eşittir. 9'un katları 3'ün de katı olduğu için aynı şey 3 için de geçerlidir.
Kalan bulma
4725'in rakamları toplamı 18'dir; 18, 9'a tam bölündüğü için 4725 de 9'a tam bölünür. 5831'in rakamları toplamı 17'dir; 17'nin 9'a bölümünden kalan 8, 3'e bölümünden kalan 2 olduğu için 5831'in 9'a bölümünden kalan 8, 3'e bölümünden kalan 2'dir.
Rakamlar toplamı büyükse aynı işlemi tekrarlayabilirsin. Toplarken 9 rakamlarını ve toplamı 9 eden rakam gruplarını atabilirsin; bunlar 9'a bölümden kalanı değiştirmez.
Bilinmeyen rakamlı sorular
Rakamlardan biri bilinmiyorsa önce bilinen rakamları topla, sonra bilinmeyen rakamın toplamı 3'ün ya da 9'un katına tamamlayan değerlerini bul. 9 ile bölünebilmede bir rakam için çoğu zaman tek seçenek vardır; ancak eksik miktar 0 ya da 9 ise iki seçenek çıkar (0 ve 9).
3 ile bölünebilmede seçenekler 3'er artar: bilinen rakamların toplamı 13 ise eksik rakam 2, 5 ya da 8 olabilir, çünkü toplam 15, 18 ya da 21 olur. Aynı rakam iki yerde geçiyorsa toplamda iki kez sayılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Beş basamaklı 6a35a sayısı 9 ile tam bölünüyor. a kaçtır?
Çözüm. a rakamı sayıda iki kez geçer, rakamlar toplamı 6 + a + 3 + 5 + a = 14 + 2a olur. a en çok 9 olduğundan toplam 14 ile 32 arasındadır ve bu aralıktaki 9'un katları 18 ve 27'dir. 14 + 2a = 18 ise a = 2; 14 + 2a = 27 ise 2a = 13 olur ve a tam sayı çıkmaz. Buna göre a = 2'dir. Kontrol: 62352 sayısının rakamları toplamı 18'dir.
Örnek 2. Dört basamaklı 3a5b sayısının 9 ile bölümünden kalan 2'dir. a + b toplamı kaç olabilir?
Çözüm. Sayının 9'a bölümünden kalan, rakamları toplamı olan 8 + a + b sayısının 9'a bölümünden kalana eşittir. Bu kalanın 2 olması için 8 + a + b sayısı 2, 11, 20, 29, ... değerlerinden birini almalıdır. a + b en az 0, en çok 18 olduğundan 8 + a + b, 8 ile 26 arasındadır; uygun değerler 11 ve 20'dir. Buna göre a + b = 3 ya da a + b = 12 olabilir.
Sık yapılan hatalar
- Rakamları toplamı 3'e bölünen her sayının 9'a da bölündüğünü sanmak: 12'nin rakamları toplamı 3'tür ama 12, 9'a bölünmez.
- 9'a bölümden kalanı bulurken rakamları toplamının kendisini kalan sanmak: toplam 17 ise kalan 8'dir.
- Bilinmeyen rakam sorularında toplamın 9'un daha büyük katlarına (18, 27) da tamamlanabileceğini unutmak.
- Bir sayının 3'e ve 9'a bölümünden kalan, rakamları toplamının kalanına eşittir.
- 9'a bölünen her sayı 3'e de bölünür; tersi her zaman doğru değildir.
- Bilinmeyen rakamı bulurken toplamı 9'un bütün olası katlarına tamamlamayı dene.