Konu anlatımı
Bir sayının 12 ya da 45 gibi bileşik bir sayıya bölünüp bölünmediğini anlamak için ayrı bir kural ezberlemen gerekmez. Böleni aralarında asal çarpanlarına ayırır ve sayının bu çarpanların her birine bölündüğünü gösterirsin. Bu alt başlıkta yöntemi ve neden aralarında asal çarpanlar gerektiğini göreceksin.
Yöntem
Bir sayı, aralarında asal olan iki sayının her birine bölünüyorsa bunların çarpımına da bölünür. Bu yüzden böleni aralarında asal çarpanlara ayırırsın; sonra sayının her çarpana bölünüp bölünmediğini o çarpanın kendi kuralıyla kontrol edersin.
- 6 = 2·3: 2 ve 3 kuralları birlikte.
- 12 = 3·4: 3 ve 4 kuralları birlikte.
- 15 = 3·5: 3 ve 5 kuralları birlikte.
- 18 = 2·9: 2 ve 9 kuralları birlikte.
- 36 = 4·9: 4 ve 9 kuralları birlikte.
- 45 = 5·9: 5 ve 9 kuralları birlikte.
- 72 = 8·9: 8 ve 9 kuralları birlikte.
Neden aralarında asal çarpanlar?
Çarpanlar aralarında asal değilse kontrol yetersiz kalır. 12 için 2 ve 6'ya bakmak yetmez: 18 sayısı hem 2'ye hem 6'ya bölünür ama 12'ye bölünmez. Sorun, 2 ile 6'nın ortak çarpanı olan 2'nin iki kez sayılmasıdır. 3 ve 4 ise ortak çarpanı olmayan sayılardır; bir sayı ikisine de bölünüyorsa asal çarpanlarında hem 3 hem 2² bulunur ve 12'ye mutlaka bölünür.
Bilinmeyen rakam ve kalan soruları
Bilinmeyen rakamlı sorularda en kısıtlayıcı kuraldan başla. Genellikle son basamak kuralları (2, 4, 5, 8) birler basamağını belirler; ardından rakamlar toplamı kuralı (3, 9) öbür rakamı belirler. Örneğin 45 ile bölünebilme sorusunda önce 5 kuralıyla son basamak 0 ya da 5 yapılır, sonra her durum için 9 kuralı ayrı ayrı uygulanır.
Bileşik sayıya bölümden kalan sorulduğunda çarpanlara bölümden kalanlar birlikte düşünülür. Örneğin 2'ye bölümünden kalan 1, 3'e bölümünden kalan 2 olan bir sayının 6'ya bölümünden kalan 5'tir; çünkü 0'dan 5'e kadar olan sayılardan bu iki koşulu birlikte sağlayan yalnızca 5'tir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Dört basamaklı 5a4b sayısı 36 ile tam bölünüyor. a'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm. 36 = 4·9 olduğundan sayı hem 4'e hem 9'a bölünmelidir. 4 kuralı için son iki basamak 4b, 4'ün katı olmalıdır: 40, 44, 48 uygun olduğundan b = 0, 4 ya da 8'dir. 9 kuralı için 5 + a + 4 + b = 9 + a + b toplamı 9'un katı olmalıdır, yani a + b = 0, 9 ya da 18. b = 0 iken a = 0 ya da 9; b = 4 iken a = 5; b = 8 iken a = 1 olur. a'nın değerleri 0, 1, 5, 9'dur ve toplamları 15'tir.
Örnek 2. Dört basamaklı 3a8b sayısı 45 ile tam bölünüyor. Bu koşulu sağlayan sayılar hangileridir?
Çözüm. 45 = 5·9 olduğundan önce 5 kuralını uygularız: b = 0 ya da b = 5. Rakamlar toplamı 3 + a + 8 + b = 11 + a + b, 9'un katı olmalıdır. b = 0 iken 11 + a toplamı 18 olursa a = 7 olur; 27 için a = 16 rakam değildir. b = 5 iken 16 + a toplamı 18 olursa a = 2 olur; 27 için a = 11 rakam değildir. Sayılar 3780 ve 3285'tir.
Sık yapılan hatalar
- Böleni aralarında asal olmayan çarpanlara ayırmak (12 için 2 ve 6 gibi).
- Kurallardan yalnız birini uygulayıp öbürünü kontrol etmeyi unutmak.
- Son basamak için 0 ve 5 gibi birden çok seçenek varken yalnızca birini incelemek.
- Bileşik bölen aralarında asal çarpanlara ayrılır; her çarpanın kuralı ayrı ayrı sağlanmalıdır.
- Önce son basamak kurallarını, sonra rakamlar toplamı kurallarını uygula.
- 12 = 3·4, 18 = 2·9, 36 = 4·9, 45 = 5·9, 72 = 8·9.