Konu anlatımı
Her pozitif tam sayının bölenleri, asal çarpanlarından kurulur. Sayıyı asal çarpanlarına ayırdığında bölenlerin hepsini tek tek yazmadan sayabilirsin. Bu alt başlıkta çarpanlara ayırmayı, bölen sayısı formülünü ve formülün neden doğru olduğunu öğreneceksin.
Asal çarpanlara ayırma
1'den büyük her doğal sayı, çarpanların sırası dışında tek bir biçimde asal sayıların çarpımı olarak yazılır. Sayıyı en küçük asal bölenden başlayarak art arda bölersin: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1. Böylece 360 = 2³·3²·5 bulunur.
Pozitif ve tam sayı bölen sayısı
N = aˣ·bʸ·cᶻ (a, b, c farklı asal sayılar) ise N'nin her pozitif böleni; a'nın 0'dan x'e kadar bir kuvveti, b'nin 0'dan y'ye kadar bir kuvveti ve c'nin 0'dan z'ye kadar bir kuvvetinin çarpımıdır. a'nın kuvveti için x + 1, b'ninki için y + 1, c'ninki için z + 1 seçenek vardır. Seçenekler çarpılarak pozitif bölen sayısı (x + 1)(y + 1)(z + 1) bulunur. 360 = 2³·3²·5¹ için bu sayı 4·3·2 = 24'tür.
Tam sayı bölenleri sorulursa negatif bölenler de sayılır ve sonuç iki katına çıkar: 360'ın 48 tam sayı böleni vardır. Asal bölenler, çarpanlara ayırmadaki farklı asal sayılardır; asal olmayan pozitif bölen sayısı, pozitif bölen sayısından asal bölen sayısı çıkarılarak bulunur.
Koşullu bölen sayma ve tam kare
Belirli bir koşulu sağlayan bölenleri sayarken koşulu üslere yansıtırsın. Örneğin 360'ın çift bölenlerinde 2'nin üssü en az 1 olmalıdır; üs için 1, 2, 3 olmak üzere 3 seçenek kalır ve çift bölen sayısı 3·3·2 = 18 olur. Tek bölenlerde 2'nin üssü 0 olmalıdır: 1·3·2 = 6. 18 + 6 = 24 toplamı sonucu doğrular.
Bir sayı tam kareyse asal çarpanlarındaki bütün üsler çifttir. Örneğin 72 = 2³·3² sayısını bir tam kare yapmak için en az bir 2 ile çarpmak gerekir: 72·2 = 2⁴·3² = 144 = 12².
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 2ⁿ·15 sayısının 24 pozitif böleni olduğuna göre n kaçtır?
Çözüm. Önce sayıyı asal çarpanlarıyla yazarız: 2ⁿ·15 = 2ⁿ·3¹·5¹. Pozitif bölen sayısı (n + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4(n + 1) olur. 4(n + 1) = 24 eşitliğinden n + 1 = 6 ve n = 5 bulunur.
Örnek 2. 504 sayısının kaç tane tek pozitif böleni ve kaç tane 6'nın katı olan pozitif böleni vardır?
Çözüm. 504 = 2³·3²·7'dir. Tek bölenlerde 2'nin üssü 0 olmalıdır; 3'ün üssü 0, 1, 2 ve 7'nin üssü 0, 1 olabilir: 1·3·2 = 6 tek bölen vardır. 6'nın katı olan bölenlerde 2'nin üssü en az 1 (1, 2, 3 olmak üzere 3 seçenek), 3'ün üssü en az 1 (1, 2 olmak üzere 2 seçenek) olmalıdır; 7'nin üssü 0 ya da 1'dir: 3·2·2 = 12 bölen 6'nın katıdır.
Sık yapılan hatalar
- Bölen sayısı formülünde üslere 1 eklemeyi unutmak.
- Sayıyı asal olmayan çarpanlarla yazıp formülü uygulamak: 360 = 8·45 yazıp (1 + 1)(1 + 1) = 4 bulmak gibi.
- Tam sayı bölenleri sorulduğunda negatif bölenleri saymamak.
- N = aˣ·bʸ·cᶻ ise pozitif bölen sayısı (x + 1)(y + 1)(z + 1)'dir.
- Tam sayı bölen sayısı, pozitif bölen sayısının 2 katıdır.
- Koşullu bölen sayarken koşulu üslerin alabileceği değerlere yansıt.
- Tam kare sayıların asal çarpanlarındaki bütün üsler çifttir.