Konu anlatımı
Belirli aralıklarla aynen tekrar eden durumlar, örneğin haftanın günleri, nöbet sıraları ya da bir sayının kuvvetlerinin son rakamı, bölme ve kalan yardımıyla çözülür. Bu alt başlıkta periyodu bulmayı ve kalanın hangi durumu gösterdiğini doğru okumayı öğreneceksin.
Periyot ve kalan
Bir durum her p adımda bir aynen tekrar ediyorsa p'ye periyot denir. n adım sonraki durumu bulmak için n'yi p'ye bölersin; tam devirler başa döndüğü için yalnızca kalan önemlidir. Kalan k ise n adım sonra, başlangıçtan k adım sonraki durumdasındır; kalan 0 ise başlangıç durumuna dönmüşsündür.
Haftanın günlerinde periyot 7'dir. Bugün salıysa 100 gün sonra hangi gün olduğunu bulmak için 100'ü 7'ye bölersin: 100 = 7·14 + 2. 14 tam hafta günü değiştirmez; kalan 2 gün salıdan ileri sayılır ve sonuç perşembedir.
Tekrar eden diziler
Bir harf ya da renk dizisi düzenli tekrar ediyorsa önce bir bloğun uzunluğunu bul. Örneğin kırmızı, mavi, sarı, yeşil renkleri bu sırayla tekrarlanarak dizilen boncuklarda periyot 4'tür. 50. boncuğun rengi için 50 = 4·12 + 2 yazarsın; kalan 2 olduğu için 50. boncuk bloğun ikinci rengi olan mavidir. Kalan 0 çıksaydı boncuk bloğun son rengi olan yeşil olurdu.
Dizinin başında tekrar etmeyen bir kısım varsa önce o kısmı çıkarırsın, kalan adımlara periyodu uygularsın. Sayarken ilk elemanın 1. sırada olduğuna dikkat et: 1. günden n. güne kadar n − 1 gün ilerlenir.
Son rakam döngüleri
Bir sayının art arda kuvvetlerinin birler basamağı da periyodik tekrar eder, çünkü her adımda yalnızca son rakam çarpıma girer. 7'nin kuvvetlerinin birler basamakları 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... biçiminde 4'lü bir döngü oluşturur. 7⁴¹'in birler basamağı için 41 = 4·10 + 1 yazarsın; kalan 1 olduğundan son rakam döngünün ilk elemanı olan 7'dir.
2'nin kuvvetlerinde döngü 2, 4, 8, 6; 3'ünkilerde 3, 9, 7, 1; 8'inkilerde 8, 4, 2, 6'dır. 4 ve 9 ile biten sayılarda döngü 2 uzunluğundadır; 0, 1, 5 ve 6 ile biten sayıların bütün pozitif kuvvetleri aynı rakamla biter.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Ali, Banu, Cem, Deniz ve Ece bu sırayla her gün birer kişi nöbet tutuyor; sıra bitince baştan başlanıyor. İlk nöbeti Ali bir pazartesi tutmuştur. 87. nöbeti kim tutar ve o gün haftanın hangi günüdür?
Çözüm. 1. nöbetten 87. nöbete kadar 86 adım ilerlenir. Kişilerde periyot 5'tir: 86 = 5·17 + 1, yani Ali'den 1 kişi ileri gidilir ve nöbeti Banu tutar. Günlerde periyot 7'dir: 86 = 7·12 + 2, yani pazartesiden 2 gün ileri gidilir ve gün çarşambadır. Aynı sonucu 87'nin 5'e bölümünden kalan 2 ile, ikinci kişinin Banu olduğunu görerek de bulabilirsin.
Örnek 2. 3⁵⁰ + 7²³ sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Çözüm. 3'ün kuvvetlerinde son rakam 3, 9, 7, 1 döngüsüyle tekrar eder. 50 = 4·12 + 2 olduğundan 3⁵⁰ döngünün ikinci elemanıyla, yani 9 ile biter. 7'nin kuvvetlerinde döngü 7, 9, 3, 1'dir. 23 = 4·5 + 3 olduğundan 7²³ döngünün üçüncü elemanıyla, yani 3 ile biter. Toplamın birler basamağı 9 + 3 = 12 sayısının birler basamağı olan 2'dir.
Sık yapılan hatalar
- Kalan 0 çıktığında bloğun ilk elemanını almak; kalan 0, bloğun son elemanı demektir.
- Sıra sayılarıyla çalışırken 1. günden n. güne n − 1 adım ilerlendiğini unutmak.
- Son rakam döngüsünde üssün kendisini değil, döngü uzunluğuna bölümünden kalanı kullanmak gerektiğini atlamak.
- Periyot p ise n adım sonrası, n'nin p'ye bölümünden kalanla belirlenir.
- Kalan 0 ise durum bloğun son elemanıdır.
- 2, 3, 7 ve 8 ile biten sayıların kuvvetlerinde son rakam 4'lü döngüyle tekrar eder.