Konu anlatımı
11 ile bölünebilme kuralı, rakamları dönüşümlü işaretlerle toplamaya dayanır. Bu alt başlıkta kuralı doğru uygulamayı, işaretlerin neden sağdan başladığını ve 11'e bölümden kalanı nasıl bulacağını göreceksin.
Kural
Sayının rakamlarına birler basamağından başlayarak sırasıyla +, −, +, −, ... işaretleri verilir ve bu işaretlerle toplam alınır. Bu toplam 0 ya da 11'in bir katıysa sayı 11'e tam bölünür. Örneğin 82 918 sayısı için sağdan başlayarak 8 − 1 + 9 − 2 + 8 = 22 bulunur; 22, 11'in katı olduğu için 82 918 de 11'e bölünür.
Aynı işlemi iki toplamın farkı olarak da düşünebilirsin: sağdan tek sıradaki rakamların toplamından çift sıradaki rakamların toplamı çıkarılır.
Kuralın nedeni
10 = 11 − 1 olduğundan 10, 11'in bir katından 1 eksiktir. 100 = 99 + 1 ise 11'in bir katından 1 fazladır; 1000 = 1001 − 1 yine 1 eksiktir. Böylece basamak değerleri sırasıyla 11'in katlarından +1, −1, +1, −1 farkla ayrılır. Sayıdaki 11'in katı olan kısımlar atılınca geriye işaretli rakam toplamı kalır.
Kalan bulma
İşaretli toplam, sayının 11'e bölümünden kalanı da verir; toplam negatifse ona 11 ya da 11'in bir katını ekleyerek 0 ile 10 arasına getirirsin. Örneğin 5291 için işaretli toplam 1 − 9 + 2 − 5 = −11 olur; −11 de 11'in katı olduğu için 5291, 11'e tam bölünür. 7364 için 4 − 6 + 3 − 7 = −6 bulunur; −6 + 11 = 5 olduğu için kalan 5'tir.
Kalan bulurken işaretleri mutlaka birler basamağından + ile başlat. Yalnızca bölünebilme soruluyorsa soldan başlamak sonucu değiştirmez, çünkü toplamın yalnızca işareti değişir; ama kalan sorusunda yanlış sonuç verir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Dört basamaklı 7a5a sayısı 11 ile tam bölünüyorsa a kaçtır?
Çözüm. Sağdan başlayarak işaret veririz: a − 5 + a − 7 = 2a − 12. a, 0 ile 9 arasında olduğundan 2a − 12, −12 ile 6 arasındadır. Bu aralıktaki 11'in katları −11 ve 0'dır. 2a − 12 = −11 ise 2a = 1 olur ve a tam sayı çıkmaz. 2a − 12 = 0 ise a = 6'dır. Kontrol: 7656 = 11·696.
Örnek 2. Altı basamaklı 54x381 sayısının 11 ile bölümünden kalan 4'tür. x kaçtır?
Çözüm. Rakamlara birler basamağından başlayarak işaret veririz: 1 − 8 + 3 − x + 4 − 5 = −5 − x. Kalanın 4 olması için −5 − x sayısına 11'in uygun bir katı eklenince 4 elde edilmelidir. x, 0 ile 9 arasında olduğundan −5 − x, −14 ile −5 arasındadır. Bu aralıkta 11'e bölümünden kalanı 4 olan tek sayı −7'dir, çünkü −7 + 11 = 4. −5 − x = −7 ise x = 2'dir.
Sık yapılan hatalar
- Kalan sorularında işaretleri soldan başlatmak.
- İşaretli toplam negatif çıktığında 11 eklemeyi unutup negatif bir kalan yazmak.
- Toplamın 0 çıktığı durumu 11'in katı saymamak; 0 da 11'in katıdır.
- Sağdan başlayarak +, −, +, − ile topla; sonuç 11'in katıysa sayı 11'e bölünür.
- İşaretli toplam, sayının 11'e bölümünden kalanı da verir; negatifse 11 ekle.
- Rakam bulma sorularında işaretli toplamın 0, 11 ya da −11 olabileceğini düşün.