Konu anlatımı
Bu beş sayı ile bölünebilme kuralları, sayının yalnızca son basamaklarına bakar. Bu alt başlıkta kuralların nereden geldiğini, kalanların nasıl bulunduğunu ve bilinmeyen rakamlı sorularda kuralların nasıl uygulandığını göreceksin.
Neden yalnızca son basamaklar?
Bir sayıyı son basamağı ve geri kalanı olarak ayırabilirsin: 5738 = 573·10 + 8. 10 sayısı hem 2'ye hem 5'e bölündüğü için 573·10 kısmı 2'ye ve 5'e tam bölünür; kalanı yalnızca son basamak belirler.
Aynı fikirle 5738 = 57·100 + 38 yazarsın. 100 sayısı 4'e bölündüğü için 4 ile bölünebilmeyi son iki basamak belirler. 1000 sayısı 8'e bölündüğü için 8'de de son üç basamağa bakılır: 5738 = 5·1000 + 738.
Kurallar ve kalanlar
Her kural yalnızca bölünebilmeyi değil kalanı da verir: sayının yerine ilgili son basamaklarını bölersin. Örneğin 5738 sayısının 4'e bölümünden kalan, 38'in 4'e bölümünden kalan olan 2'dir; 8'e bölümünden kalan ise 738'in 8'e bölümünden kalan olan 2'dir.
- 2: birler basamağı çift olmalı; kalan, birler basamağının 2'ye bölümünden kalandır.
- 5: birler basamağı 0 ya da 5 olmalı; kalan, birler basamağının 5'e bölümünden kalandır.
- 10: birler basamağı 0 olmalı; kalan birler basamağının kendisidir.
- 4: son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'e bölünmeli; kalan bu sayının 4'e bölümünden kalandır.
- 8: son üç basamağın oluşturduğu sayı 8'e bölünmeli; kalan bu sayının 8'e bölümünden kalandır.
Bilinmeyen rakamlı sorular
Rakamı bilinmeyen bir sayının bölünebilmesi soruluyorsa kuralı yalnız ilgili basamaklara uygularsın. Örneğin 3a6b sayısı 4'e bölünüyorsa yalnızca 6b sayısına bakılır: 60, 64 ve 68 sayıları 4'e bölündüğü için b = 0, 4 ya da 8'dir; a ise 0'dan 9'a kadar her değeri alabilir.
Bir sayı hem 4'e hem 5'e bölünüyorsa 20'ye bölünür, çünkü 4 ile 5 aralarında asaldır. 5'e bölünebilmesi için son basamak 0 ya da 5, 4'e bölünebilmesi için sayı çift olmalıdır; bu iki koşul birlikte son basamağı 0 yapar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Dört basamaklı 3a4b sayısı 8 ile tam bölünmekte, 5 ile bölündüğünde ise 3 kalanını vermektedir. a'nın alabileceği değerler nelerdir ve a + b toplamının en büyük değeri kaçtır?
Çözüm. 5'e bölümden kalan 3 olduğu için birler basamağı 3 ya da 8'dir. Sayı 8'e bölündüğü için çift olmalıdır, bu yüzden b = 8. Şimdi son üç basamak a48 = 100a + 48, 8'e bölünmelidir. 48 = 8·6 olduğundan 100a'nın 8'e bölünmesi gerekir. 100a = 96a + 4a ve 96a, 8'in katı olduğu için 4a'nın 8'e bölünmesi yeterlidir; bu da a çiftse sağlanır. a = 0, 2, 4, 6 ya da 8'dir. a + b'nin en büyük değeri 8 + 8 = 16'dır.
Örnek 2. Altı basamaklı 52738x sayısının 4 ile bölümünden kalan 3'tür. x'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm. 4'e bölümden kalanı son iki basamak belirler: 8x = 80 + x. 80 sayısı 4'e tam bölündüğü için 80 + x'in 4'e bölümünden kalan, x'in 4'e bölümünden kalana eşittir. x'in 4'e bölümünden kalan 3 olmalıdır; rakamlar arasında bu koşulu 3 ve 7 sağlar. Değerlerin toplamı 3 + 7 = 10'dur.
Sık yapılan hatalar
- 4 ile bölünebilmede yalnızca son basamağa bakmak: 14'ün son basamağı 4 olduğu hâlde 14, 4'e bölünmez.
- 8 ile bölünebilmede son iki basamağa bakmak; son üç basamak gerekir.
- 5'e bölümden kalanı bulurken son basamak 5'ten büyükse 5 çıkarmayı unutmak: 47'nin 5'e bölümünden kalan 7 değil 2'dir.
- 10'un katları 2'ye ve 5'e, 100'ün katları 4'e, 1000'in katları 8'e bölünür; kurallar buradan gelir.
- Kalanı bulurken sayının yerine ilgili son basamaklarını böl.
- Hem 4'e hem 5'e bölünen sayının son basamağı 0'dır.