Konu anlatımı
Bölme işlemi, bir sayının içinde başka bir sayının kaç kez bulunduğunu ve geriye ne kaldığını söyler. Bu alt başlıkta bölme eşitliğini, kalanın neden bölenden küçük olduğunu ve kalanları kullanarak büyük ifadelerin kalanını bulmayı öğreneceksin.
Bölme eşitliği
A bir doğal sayı, B bir pozitif tam sayı olmak üzere A'yı B'ye böldüğünde A = B·C + K yazılır; C bölüm, K kalandır ve 0 ≤ K ≤ B − 1'dir. Örneğin 47 = 6·7 + 5 olduğu için 47'nin 6'ya bölümünden bölüm 7, kalan 5'tir.
Kalanın bölenden küçük olması zorunludur. Kalan bölene eşit ya da ondan büyük olsaydı bölen bir kez daha çıkarılabilirdi ve bölüm 1 artardı. Bu yüzden bir sayının 6'ya bölümünden kalan 0, 1, 2, 3, 4 ya da 5 olabilir; en büyük kalan 5'tir.
En büyük ve en küçük değer soruları
Bölme eşitliğinde bilinmeyen bölünen ise A = B·C + K ifadesinde B, C ve K için verilen sınırları kullanırsın. Kalan bölenden küçük olmalı, bölüm ve kalan doğal sayı olmalıdır. Örneğin bir sayı 9'a bölündüğünde bölüm ile kalan eşitse sayı 9C + C = 10C biçimindedir ve kalan en çok 8 olabildiği için sayı en çok 80 olur.
Bölen bilinmiyorsa kalan bilgisi bölene alt sınır koyar: kalan 7 ise bölen en az 8'dir. Bu bilgi, “bölen en az kaçtır” ve “bölen kaç farklı değer alabilir” sorularının anahtarıdır.
Kalanlarla işlem
A'nın B'ye bölümünden kalan K ise A + 1, 2A, A² gibi ifadelerin B'ye bölümünden kalanı, A'nın yerine K koyarak bulursun; sonuç B'den büyükse yeniden B'ye bölersin. Nedeni şudur: A = B·C + K yazınca örneğin 2A = B·(2C) + 2K olur ve B·(2C) kısmı B'ye tam bölünür; kalanı yalnızca 2K belirler.
Örneğin A'nın 7'ye bölümünden kalan 5 ise 3A + 4'ün 7'ye bölümünden kalan, 3·5 + 4 = 19 sayısının 7'ye bölümünden kalana, yani 5'e eşittir. İki sayının toplamının ya da çarpımının kalanını da aynı yolla, kalanları toplayıp ya da çarpıp bulursun.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A ve B doğal sayılardır. A'nın 9'a bölümünden kalan 7, B'nin 9'a bölümünden kalan 5'tir. A·B + A + 2 ifadesinin 9'a bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm. A yerine 7, B yerine 5 koyarak kalanla işlem yaparız: 7·5 + 7 + 2 = 35 + 7 + 2 = 44. 44 sayısı 9'dan büyük olduğu için yeniden böleriz: 44 = 9·4 + 8. İstenen kalan 8'dir; 44'ü kalan olarak bırakmak yanlış olurdu.
Örnek 2. 86 sayısı bir B doğal sayısına bölündüğünde kalan 6'dır. B'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözüm. 86 = B·C + 6 olduğundan 86 − 6 = 80 sayısı B'ye tam bölünür; yani B, 80'in bir pozitif bölenidir. Ayrıca kalan bölenden küçük olmalıdır, bu yüzden B en az 7'dir. 80'in pozitif bölenleri 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80'dir. Bunlardan 7'ye eşit ya da 7'den büyük olanlar 8, 10, 16, 20, 40, 80'dir. B 6 farklı değer alabilir.
Sık yapılan hatalar
- Kalanın bölenden küçük olma şartını unutup bölene eşit ya da ondan büyük kalan kabul etmek.
- Kalanlarla işlem yaptıktan sonra sonucu yeniden bölene bölmeyi unutmak.
- Bölen bulma sorularında bölenin kalandan büyük olması gerektiğini atlamak.
- A = B·C + K ve 0 ≤ K ≤ B − 1.
- A'nın B'ye bölümünden kalan K ise A − K, B'ye tam bölünür.
- Toplamın ve çarpımın kalanı, kalanların toplamının ve çarpımının kalanıdır.