Konu anlatımı
Fonksiyon, bir kümenin her elemanını başka bir kümenin yalnız bir elemanıyla eşleyen kuraldır. Bir taksinin gidilen yola göre ücret hesaplaması, bir sayının karesini almak ya da bir ürünün adedine göre tutarını bulmak birer fonksiyondur. Fonksiyonlar, iki çokluk arasındaki ilişkiyi tek bir kuralla ifade etmenin yoludur.
Bu sayfada fonksiyon kavramını ve gösterimlerini, fonksiyon kuralından değer bulmayı, fonksiyon türlerini, fonksiyonlarla işlemleri, bileşke ve ters fonksiyonu ve grafik yorumlamayı göreceksin. Her başlığın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Fonksiyon, tanım ve görüntü kümesi
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A'nın her elemanını B'nin yalnız bir elemanına eşleyen f kuralına A'dan B'ye bir fonksiyon denir ve f: A → B ile gösterilir. A tanım kümesi, B değer kümesidir. x elemanının eşlendiği eleman f(x) ile gösterilir ve x'in görüntüsü diye okunur. Görüntülerin oluşturduğu f(A) kümesine görüntü kümesi denir ve bu küme B'nin bir alt kümesidir.
Bir eşlemenin fonksiyon olması için tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalı ve hiçbir eleman iki farklı elemanla eşlenmemelidir. Grafikte bunu düşey doğru testiyle kontrol edersin: tanım kümesindeki her noktadan çizilen düşey doğru grafiği yalnız bir noktada kesmelidir. Lise programında yalnızca gerçek sayılar üzerinde tanımlı fonksiyonlar ele alınır.
Fonksiyon kuralı ve değer bulma
f(x) = 2x − 3 ise f(4) = 8 − 3 = 5 olur. f(2x − 1) = 4x + 3 gibi kurallarda tek bir değer isteniyorsa iç ifade o değere eşitlenir: f(3) için 2x − 1 = 3, x = 2 ve f(3) = 11 bulunur. Genel kural isteniyorsa iç ifadeye yeni bir harf verilir: 2x − 1 = t ise x = (t + 1)/2 ve f(t) = 2t + 5 olur. Kuralı açıkça verilmeyen fonksiyonel eşitliklerde ise x yerine uygun değerler yazılarak denklem sistemi kurulur.
Fonksiyon türleri
Fonksiyonlar, eşlemenin biçimine ya da kuralına göre özel adlar alır. Bu türlerin her biri ayrı bir alt başlıkta örneklerle anlatılıyor.
- Bire bir: farklı elemanların görüntüleri farklıdır; f(a) = f(b) ise a = b olur.
- Örten: görüntü kümesi değer kümesine eşittir; değer kümesinde açıkta eleman kalmaz.
- İçine: örten olmayan fonksiyondur; değer kümesinde açıkta eleman kalır.
- Sabit: her elemanın görüntüsü aynıdır; f(x) = c biçimindedir.
- Birim (özdeşlik): her eleman kendisine eşlenir; I(x) = x.
- Doğrusal: f(x) = ax + b biçimindedir ve grafiği bir doğrudur.
- Tek ve çift: f(−x) = −f(x) ise tek, f(−x) = f(x) ise çift fonksiyondur.
Fonksiyonlarla işlemler ve bileşke
Ortak tanım kümesinde (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f − g)(x) = f(x) − g(x), (f·g)(x) = f(x)·g(x) ve g(x) ≠ 0 için (f/g)(x) = f(x)/g(x) tanımlanır.
Bileşkede bir fonksiyonun çıktısı ötekinin girdisi olur: (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Önce sağdaki g, sonra soldaki f uygulanır. Bileşkenin birleşme özelliği vardır, değişme özelliği genellikle yoktur: f(x) = x + 1 ve g(x) = 2x için (f ∘ g)(x) = 2x + 1, (g ∘ f)(x) = 2x + 2 olur.
Ters fonksiyon
f: A → B bire bir ve örtense B'nin her y elemanını, f(x) = y eşitliğini sağlayan tek x elemanına götüren fonksiyona f'nin tersi denir ve f⁻¹ ile gösterilir: f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a. f(x) = 3x − 2 için y = 3x − 2 eşitliğinden x çekilir ve x = (y + 2)/3 bulunur; yani f⁻¹(x) = (x + 2)/3 olur. Doğrusal bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.
Grafikten okuma
y = f(x) grafiğinde (a, b) noktası varsa f(a) = b'dir. Grafiğin x eksenini kestiği noktaların apsisleri f(x) = 0 denkleminin kökleridir. f(x) = k denkleminin çözüm sayısı, y = k yatay doğrusunun grafiği kestiği nokta sayısıdır. Grafiğin x ekseninin üstünde kaldığı yerde f(x) > 0, altında kaldığı yerde f(x) < 0 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(3x + 1) = 6x − 4 olduğuna göre f(7) + f(−2) toplamı kaçtır?
Çözüm. f(7) için iç ifadeyi 7'ye eşitleriz: 3x + 1 = 7 ise x = 2 ve f(7) = 12 − 4 = 8 olur. f(−2) için 3x + 1 = −2 ise x = −1 ve f(−2) = −6 − 4 = −10 olur. Toplam 8 + (−10) = −2'dir. Genel kuraldan da bulunur: 3x + 1 = t dersen f(t) = 2t − 6 olur.
Örnek 2. f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² − 3 olduğuna göre (f ∘ g)(2) + (g ∘ f)(−1) toplamı kaçtır?
Çözüm. Bileşkede içten dışa hesaplarız. g(2) = 4 − 3 = 1 ve f(1) = 3 olduğundan (f ∘ g)(2) = 3'tür. f(−1) = −2 + 1 = −1 ve g(−1) = 1 − 3 = −2 olduğundan (g ∘ f)(−1) = −2'dir. Toplam 3 + (−2) = 1 olur.
Örnek 3. x ≠ 2 için f(x) = (x + 4)/(x − 2) kuralıyla tanımlı bire bir ve örten f fonksiyonu veriliyor. f⁻¹(3) kaçtır?
Çözüm. f⁻¹(3) = a dersek f(a) = 3 olmalıdır. Tersin kuralını bulmaya gerek yoktur. (a + 4)/(a − 2) = 3 eşitliğinden a + 4 = 3a − 6 ve a = 5 bulunur. Kontrol: f(5) = 9/3 = 3. Buna göre f⁻¹(3) = 5'tir.
Örnek 4. Doğrusal bir f fonksiyonunun grafiği (−3, 0) ve (0, 6) noktalarından geçiyor. f(1) + f⁻¹(0) toplamı kaçtır?
Çözüm. Grafik y eksenini 6'da kestiği için f(x) = ax + 6'dır. x 3 birim artarken f(x) 0'dan 6'ya çıktığından a = 6/3 = 2 ve f(x) = 2x + 6 olur. f(1) = 8'dir. f⁻¹(0), f(x) = 0 yapan x değeridir; grafiğin x eksenini kestiği nokta olan −3'tür. Toplam 8 + (−3) = 5'tir.
Sık yapılan hatalar
- f(2x − 1) = 4x + 3 kuralında f(3) için x yerine doğrudan 3 yazmak; önce 2x − 1 = 3 yapan x bulunmalıdır.
- (f ∘ g)(x) hesaplarken önce f fonksiyonunu uygulamak; bileşkede sağdaki fonksiyon önce uygulanır.
- f⁻¹(x) ifadesini 1/f(x) sanmak; ters fonksiyon, çarpmaya göre ters değildir.
- Bire bir olmayan bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olduğunu sanmak.
- f(a + b) = f(a) + f(b) gibi, her fonksiyonda geçerli olmayan eşitlikler kullanmak.
- Fonksiyonda tanım kümesinin her elemanının tam olarak bir görüntüsü vardır.
- Tek değer için iç ifadeyi o değere eşitle; genel kural için iç ifadeye t de.
- (f ∘ g)(x) = f(g(x)); bileşkede değişme özelliği yoktur.
- f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a; tersin fonksiyon olması için f bire bir ve örten olmalıdır.
- f(x) = k denkleminin çözüm sayısı, y = k doğrusunun grafiği kestiği nokta sayısıdır.