Konu anlatımı
Sabit bir hızla artan ya da azalan durumlar doğrusal fonksiyonlarla ifade edilir. Bu alt başlıkta f(x) = ax + b fonksiyonunu, katsayıların grafikteki anlamını, iki noktadan kural bulmayı ve gerçek hayattan doğrusal modelleri göreceksin.
Kural ve katsayıların anlamı
a ve b gerçek sayılar olmak üzere f(x) = ax + b biçimindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir; grafiği bir doğrudur. b, grafiğin y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır, çünkü f(0) = b'dir. a ise x bir birim arttığında f(x) değerinin ne kadar değiştiğini gösterir: f(x + 1) − f(x) = a.
a > 0 ise fonksiyon artan, a < 0 ise azalandır; a = 0 ise fonksiyon sabittir ve grafiği x eksenine paraleldir. a'nın mutlak değeri büyüdükçe doğru dikleşir.
İki noktadan kural bulmak
Grafiği (1, 5) ve (3, 11) noktalarından geçen doğrusal fonksiyonda x 2 birim artarken f(x) 6 birim artmıştır; a = 6/2 = 3'tür. f(1) = 3 + b = 5 olduğundan b = 2 ve f(x) = 3x + 2 bulunur. Grafiğin x eksenini kestiği nokta f(x) = 0 denkleminin köküdür: 3x + 2 = 0 için x = −2/3.
Eksenleri kestiği noktalar verilmişse kural daha hızlı yazılır. Grafik y eksenini (0, 4), x eksenini (−2, 0) noktasında kesiyorsa b = 4'tür; x 2 birim artarken f(x) 0'dan 4'e çıktığı için a = 2 ve f(x) = 2x + 4 olur.
Gerçek hayat modelleri
Bir taksinin açılış ücreti 40 TL, kilometre başına ücreti 25 TL ise x km'lik yolculuğun ücreti f(x) = 25x + 40 olur. Burada a = 25 kilometre başına artışı, b = 40 başlangıç değerini gösterir. 12 km'lik yolculuk 25·12 + 40 = 340 TL tutar. Ücret 465 TL ise 25x + 40 = 465 denkleminden x = 17 km bulunur.
Gerçek hayat sorularında tanım kümesi çoğu zaman negatif olmayan sayılarla sınırlıdır; grafik de bu yüzden bir doğru parçası ya da ışın olarak çizilir. Grafikle verilen tarife ve fatura soruları Grafik ve Tablo Problemleri sayfasında ayrıca ele alınır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Doğrusal bir f fonksiyonu için f(2) = 1 ve f(5) = 10'dur. f(0) + f(−1) toplamı kaçtır?
Çözüm. x 3 birim artarken f(x) 9 birim arttığı için a = 9/3 = 3'tür. f(2) = 6 + b = 1 olduğundan b = −5 ve f(x) = 3x − 5 bulunur. f(0) = −5 ve f(−1) = −8 olduğundan toplam −13'tür.
Örnek 2. Bir fidanın boyu dikildiği gün 12 cm'dir ve her hafta 3 cm uzamaktadır. Fidanın boyunu hafta sayısına bağlı bir fonksiyonla yazınız. Fidanın boyu kaçıncı haftanın sonunda 45 cm olur?
Çözüm. Boy her hafta aynı miktarda arttığı için model doğrusaldır. Başlangıç değeri 12, haftalık artış 3 olduğundan f(x) = 3x + 12 yazılır; x hafta sayısıdır. 3x + 12 = 45 denkleminden 3x = 33 ve x = 11 bulunur. Fidanın boyu 11. haftanın sonunda 45 cm olur.
Sık yapılan hatalar
- a ile b'yi karıştırmak: b grafiğin y eksenini kestiği değerdir, a ise bir birimdeki değişimdir.
- İki noktadan katsayı hesaplarken farkları farklı sırayla almak: (11 − 5)/(1 − 3) gibi.
- Gerçek hayat modelinde başlangıç değerini unutup ücreti yalnızca 25x ile hesaplamak.
- f(x) = ax + b ise b = f(0) ve a = f(x + 1) − f(x).
- a, iki noktanın ordinatları farkının apsisleri farkına oranıdır.
- a > 0 ise artan, a < 0 ise azalan, a = 0 ise sabit fonksiyon.