Konu anlatımı
Bir makinenin çıktısını ikinci bir makineye vermek gibi, bir fonksiyonun görüntüsünü başka bir fonksiyonun girdisi yapabilirsin; bu işleme bileşke denir. Bu alt başlıkta bileşkeyi kuraldan, ok şemasından ve grafikten hesaplamayı, bileşke içeren denklemleri çözmeyi ve bileşkenin özelliklerini göreceksin.
Tanım ve hesap
f: A → B ve g: B → C fonksiyonları için (g ∘ f)(x) = g(f(x)) biçiminde tanımlanan fonksiyona g ile f'nin bileşkesi denir. Önce sağdaki fonksiyon, sonra soldaki uygulanır. f(x) = x + 3 ve g(x) = x² ise (g ∘ f)(x) = g(x + 3) = (x + 3)² ve (f ∘ g)(x) = f(x²) = x² + 3 olur. Tek bir değer isteniyorsa içten dışa hesaplanır: (g ∘ f)(1) = g(f(1)) = g(4) = 16.
Özellikler
Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h). Değişme özelliği ise genellikle yoktur; bu alt başlıktaki örnekte (g ∘ f)(x) = (x + 3)² iken (f ∘ g)(x) = x² + 3 olur. Birim fonksiyon bileşkede etkisizdir: f ∘ I = I ∘ f = f. Bir fonksiyon tersiyle bileşke edilince birim fonksiyon elde edilir.
Ok şemasından ve grafikten bileşke
Ok şemasında (g ∘ f)(a) bulunurken a'dan çıkan f oku izlenir, ulaşılan elemandan çıkan g oku izlenir. Grafikten bileşke bulunurken de aynı sıra uygulanır: (f ∘ f)(4) için önce grafikte x = 4'e karşılık gelen f(4) değeri okunur, sonra bu değer x ekseninde bulunup f'nin o noktadaki değeri okunur. Grafik doğru parçalarından oluşuyorsa ara noktalardaki değerler, ilgili parçanın iki ucundan yararlanılarak hesaplanır.
Bileşke denklemleri
f(g(x)) = k denklemini çözmek için önce f(t) = k eşitliğini sağlayan t değerleri bulunur, sonra her biri için g(x) = t denklemi çözülür. f(x) = 2x − 1 ve g(x) = x² için (f ∘ g)(x) = 7 ise f(t) = 7 eşitliğinden t = 4 bulunur; g(x) = 4 için x = 2 ya da x = −2'dir.
Bileşke kuralı ve iç fonksiyon biliniyorsa dış fonksiyon da bulunabilir. (f ∘ g)(x) = 6x + 1 ve g(x) = 2x − 3 ise f(2x − 3) = 6x + 1 olur; iç ifadeye t denirse x = (t + 3)/2 ve f(t) = 3t + 10 bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = 3x − 2 ve g(x) = x² + 1 olduğuna göre (f ∘ g)(a) = 28 eşitliğini sağlayan a değerlerinin çarpımı kaçtır?
Çözüm. (f ∘ g)(a) = f(a² + 1) = 3(a² + 1) − 2 = 3a² + 1 olur. 3a² + 1 = 28 eşitliğinden a² = 9 ve a = 3 ya da a = −3 bulunur. Değerlerin çarpımı −9'dur.
Örnek 2. f: A → B için f(1) = 4, f(2) = 3, f(3) = 1 ve g: B → C için g(1) = 7, g(3) = 5, g(4) = 2 eşlemeleri bir ok şemasında verilmiştir. (g ∘ f)(1) + (g ∘ f)(2) + (g ∘ f)(3) toplamı kaçtır?
Çözüm. Her terimde önce f, sonra g okunu izleriz. (g ∘ f)(1) = g(4) = 2, (g ∘ f)(2) = g(3) = 5 ve (g ∘ f)(3) = g(1) = 7'dir. Toplam 2 + 5 + 7 = 14'tür.
Örnek 3. [0, 4] aralığında tanımlı f fonksiyonunun grafiği (0, 1), (2, 5) ve (4, 1) noktalarını sırasıyla birleştiren doğru parçalarından oluşuyor. (f ∘ f)(x) = 1 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm. Önce f(t) = 1 olan t değerlerini buluruz: grafik 1 değerini yalnızca uçlarda alır, t = 0 ve t = 4. Buna göre f(x) = 0 ya da f(x) = 4 olmalıdır. f'nin en küçük değeri 1 olduğundan f(x) = 0 çözümsüzdür. Birinci parçada f(x) = 2x + 1 olduğundan 2x + 1 = 4 ve x = 1,5; ikinci parçada f(x) = 9 − 2x olduğundan 9 − 2x = 4 ve x = 2,5 bulunur. Toplam 1,5 + 2,5 = 4'tür.
Sık yapılan hatalar
- (f ∘ g)(x) hesaplarken önce f fonksiyonunu uygulamak.
- Bileşkede değişme özelliği varmış gibi (f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x) almak.
- Bileşke denkleminde f(t) = k eşitliğini sağlayan t değerlerinden yalnızca birini alıp ötekileri unutmak.
- Grafikten bileşkede ara değerin tanım ya da görüntü kümesi dışında kalıp kalmadığına bakmamak.
- (f ∘ g)(x) = f(g(x)); önce g, sonra f uygulanır.
- Bileşkenin birleşme özelliği vardır, değişme özelliği yoktur.
- f(g(x)) = k için önce f(t) = k eşitliğindeki t değerlerini, sonra g(x) = t denklemlerini çöz.