Konu anlatımı
Bir fonksiyon her girdiye bir çıktı verir; ters fonksiyon ise çıktıdan girdiye geri döner. Bu alt başlıkta ters fonksiyonun hangi şartla var olduğunu, tersin nasıl bulunduğunu, tersin bir değerini kuralı bulmadan hesaplamayı ve grafikteki simetriyi göreceksin.
Tanım ve şart
f: A → B bire bir ve örten bir fonksiyon olsun. B'nin her y elemanını, f(x) = y eşitliğini sağlayan tek x elemanına eşleyen fonksiyona f'nin tersi denir ve f⁻¹: B → A ile gösterilir. Kısaca f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a olur. f bire bir değilse bir y değerine iki x karşılık gelir; örten değilse bazı y değerlerine hiçbir x karşılık gelmez. İki durumda da ters eşleme bir fonksiyon olmaz.
Tersi bulmak
y = f(x) yazılır ve eşitlik x yalnız kalacak biçimde düzenlenir; sonra x ile y'nin yeri değiştirilir. f(x) = 3x − 2 için y = 3x − 2 eşitliğinden x = (y + 2)/3 bulunur; yani f⁻¹(x) = (x + 2)/3 olur.
Kesirli fonksiyonlarda da aynı yol izlenir. x ≠ 1 için f(x) = (2x + 1)/(x − 1) ise y(x − 1) = 2x + 1, yani xy − 2x = y + 1 ve x = (y + 1)/(y − 2) olur. Buna göre x ≠ 2 için f⁻¹(x) = (x + 1)/(x − 2) bulunur. Tersin yalnızca bir değeri isteniyorsa kural bulmaya gerek yoktur: f⁻¹(5) = a ise f(a) = 5 denklemi çözülür.
Özellikler ve grafik
Tersin tersi fonksiyonun kendisidir ve bir fonksiyon tersiyle bileşke edilince birim fonksiyon elde edilir: (f ∘ f⁻¹)(x) = (f⁻¹ ∘ f)(x) = x. Bileşkenin tersi ters sırayla alınır: (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹.
f'nin grafiğinde (a, b) noktası varsa ters fonksiyonun grafiğinde (b, a) noktası vardır; bu yüzden iki grafik y = x doğrusuna göre simetriktir. Program bu simetriyi bire bir ve örten doğrusal fonksiyonların grafiklerini çizerek gösterir ve parçalı tanımlı fonksiyonların tersine girmez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = 4x − 3 olduğuna göre f⁻¹(9) + f⁻¹(−7) toplamı kaçtır?
Çözüm. f⁻¹(9) = a ise f(a) = 9 olmalıdır: 4a − 3 = 9 ve a = 3. f⁻¹(−7) = b ise 4b − 3 = −7 ve b = −1 olur. Toplam 3 + (−1) = 2'dir. Ters kuralı f⁻¹(x) = (x + 3)/4 bulunarak da aynı sonuca ulaşılır.
Örnek 2. x ≠ −2 için f(x) = (3x − 1)/(x + 2) kuralıyla tanımlı bire bir ve örten f fonksiyonu veriliyor. f⁻¹(2) kaçtır?
Çözüm. f⁻¹(2) = a dersek f(a) = 2 olmalıdır. (3a − 1)/(a + 2) = 2 eşitliğinden 3a − 1 = 2a + 4 ve a = 5 bulunur. Kontrol: f(5) = 14/7 = 2. Buna göre f⁻¹(2) = 5'tir.
Örnek 3. f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x − 4 olduğuna göre (f ∘ g)⁻¹(7) kaçtır?
Çözüm. (f ∘ g)(x) = f(x − 4) = 2(x − 4) + 1 = 2x − 7'dir. (f ∘ g)⁻¹(7) = a ise 2a − 7 = 7 ve a = 7 bulunur. Kuralla da kontrol edebilirsin: (f ∘ g)⁻¹(7) = g⁻¹(f⁻¹(7)); f⁻¹(7) = 3 ve g⁻¹(3) = 7 olur.
Sık yapılan hatalar
- f⁻¹(x) ifadesini 1/f(x) sanmak.
- Tersi bulurken x'i yalnız bıraktıktan sonra x ile y'nin yerini değiştirmeyi unutmak.
- (f ∘ g)⁻¹ yerine f⁻¹ ∘ g⁻¹ yazmak; doğru sıra g⁻¹ ∘ f⁻¹ biçimindedir.
- f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a.
- Tersin bir değeri için kural bulma; f(x) = verilen değer denklemini çöz.
- (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹; bir fonksiyonun ve tersinin grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.