Konu anlatımı
Fonksiyon kuralı her zaman f(x) = ... biçiminde verilmez; bazen f(2x − 1) gibi bir iç ifadeyle ya da f(x) ile f(2 − x) arasında bir eşitlikle verilir. Bu alt başlıkta böyle kurallardan istenen değeri bulmayı ve fonksiyonun genel kuralını elde etmeyi göreceksin.
Kuraldan değer bulmak
f(x) = x² − 2x ise f(−1) = 1 + 2 = 3 olur. x'in yerine bir ifade de yazılabilir: f(a + 1) = (a + 1)² − 2(a + 1) = a² − 1. x'in yerine ne yazılırsa yazılsın, kuraldaki bütün x'ler aynı ifadeyle değiştirilir. f(a + 1) yazarken yalnızca bir x'i değiştirip ötekini unutmak sık yapılan bir hatadır.
İç ifade veren kurallar
f(2x − 1) = 4x + 3 kuralında f(3) isteniyorsa iç ifade 3'e eşitlenir: 2x − 1 = 3 için x = 2 ve f(3) = 4·2 + 3 = 11 bulunur. Bu yolda x'in yerine 3 yazılmaz; 3, iç ifadenin alacağı değerdir.
Bütün kural isteniyorsa iç ifadeye yeni bir harf verilir. 2x − 1 = t ise x = (t + 1)/2 olur ve f(t) = 4·(t + 1)/2 + 3 = 2t + 5 bulunur. Harfi yeniden x yaparak f(x) = 2x + 5 yazılır. Kontrol için f(2x − 1) = 2(2x − 1) + 5 = 4x + 3 olduğunu görebilirsin.
Fonksiyonel eşitlikler
Bazı sorularda kural açıkça verilmez; f(x) + 2f(2 − x) = 3x + 3 gibi bir eşitliğin her x için doğru olduğu söylenir. Böyle eşitliklerde x yerine, iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturacak değerler yazılır. f(3) isteniyorsa x = 3 için f(3) + 2f(−1) = 12, x = −1 için f(−1) + 2f(3) = 0 bulunur. İki denklem birlikte çözülür.
Tekrarlı eşitlikler de verilebilir: f(x + 1) = f(x) + 2x + 1 ve f(0) = 3 ise x yerine sırasıyla 0, 1 ve 2 yazılarak f(1) = 4, f(2) = 7 ve f(3) = 12 bulunur. Her adımda bir önceki değeri kullanırsın.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x − 2) = x² + x olduğuna göre f(1) kaçtır? f(x) kuralını bulunuz.
Çözüm. f(1) için iç ifadeyi 1'e eşitleriz: x − 2 = 1 ise x = 3 ve f(1) = 9 + 3 = 12 olur. Genel kural için x − 2 = t deriz; x = t + 2 olur ve f(t) = (t + 2)² + (t + 2) = t² + 5t + 6 bulunur. Kural f(x) = x² + 5x + 6'dır ve f(1) = 1 + 5 + 6 = 12 sonucunu yeniden verir.
Örnek 2. Gerçek sayılarda tanımlı bir f fonksiyonu her x için f(x) + 2f(2 − x) = 3x + 3 eşitliğini sağlıyor. f(3) kaçtır?
Çözüm. x = 3 yazarız: f(3) + 2f(−1) = 12. x = −1 yazarız: f(−1) + 2f(3) = 0, buradan f(−1) = −2f(3) olur. Birinci eşitlikte yerine koyunca f(3) − 4f(3) = 12, yani −3f(3) = 12 ve f(3) = −4 bulunur. Bu durumda f(−1) = 8'dir ve iki eşitlik de sağlanır.
Sık yapılan hatalar
- f(2x − 1) = 4x + 3 kuralında f(3) için x yerine doğrudan 3 yazmak.
- Kuralda x yerine bir ifade yazarken x'lerden yalnızca birini değiştirmek.
- Fonksiyonel eşitlikte tek bir denklemle iki bilinmeyeni bulmaya çalışmak; ikinci bir x değeri gerekir.
- Tek değer için iç ifadeyi o değere eşitle.
- Genel kural için iç ifadeye t de ve x'i t cinsinden yaz.
- f(x) ile f(a − x) birlikte geçiyorsa x yerine iki uygun değer yazıp denklem sistemi kur.