Konu anlatımı
Sayılarla yaptığın dört işlemi fonksiyonlarla da yapabilirsin; sonuç yeni bir fonksiyondur. Bu alt başlıkta iki fonksiyonun ne zaman eşit olduğunu, fonksiyonlarla dört işlemi ve bu işlemlerde tanım kümesinin nasıl belirlendiğini göreceksin.
Eşit fonksiyonlar
f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri aynıysa ve bu kümenin her x elemanı için f(x) = g(x) oluyorsa f ile g eşit fonksiyonlardır. Kuralları farklı görünen fonksiyonlar eşit olabilir: A = {0, 1} kümesinde f(x) = x² ve g(x) = x fonksiyonları eşittir, çünkü f(0) = g(0) = 0 ve f(1) = g(1) = 1'dir. Gerçek sayılarda ise bu iki fonksiyon eşit değildir: f(2) = 4 iken g(2) = 2'dir.
Tanım kümesi gerçek sayılar olan ve katsayılarla yazılan ax² + bx + c gibi kurallarda eşitlik için karşılık gelen katsayıların eşit olması gerekir.
Dört işlem
f ve g'nin ortak tanım kümesinde (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f − g)(x) = f(x) − g(x) ve (f·g)(x) = f(x)·g(x) tanımlanır. Bölmede paydayı sıfır yapan değerler tanım kümesinden çıkarılır: g(x) ≠ 0 için (f/g)(x) = f(x)/g(x). Bir sayıyla çarpma da benzerdir: (3f)(x) = 3·f(x).
f(x) = x + 2 ve g(x) = x − 3 için (f·g)(x) = x² − x − 6 olur; f/g fonksiyonu ise x = 3 dışındaki gerçek sayılarda tanımlıdır. f(x) = x + 4 ve g(x) = x² − 9 alınırsa f/g, g'yi sıfır yapan 3 ve −3 değerlerinde tanımsızdır.
Tablo ve ok şemasıyla verilen fonksiyonlar
Fonksiyonlar tablo ya da ok şemasıyla verildiğinde işlemler noktasal yapılır: (f + g)(2) için tablodan f(2) ve g(2) okunur ve toplanır. f/g istendiğinde g'nin 0 değerini aldığı x değerleri tanım kümesinden çıkarılır. Program parçalı tanımlı fonksiyonlarla bu işlemlere girmez; işlemler tek bir kuralla verilen fonksiyonlarla yapılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = 2x − 1 ve g(x) = x² + 1 olduğuna göre (f·g)(2) − (f/g)(1) + (3f − g)(0) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Her parçayı ayrı hesaplarız. f(2) = 3 ve g(2) = 5 olduğundan (f·g)(2) = 15'tir. f(1) = 1 ve g(1) = 2 olduğundan (f/g)(1) = 1/2'dir. f(0) = −1 ve g(0) = 1 olduğundan (3f − g)(0) = −3 − 1 = −4'tür. Sonuç 15 − 1/2 − 4 = 21/2'dir.
Örnek 2. Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = (a + 1)x² + 3x + b ve g(x) = 4x² + (c − 2)x + 5 fonksiyonları eşit olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır?
Çözüm. Fonksiyonlar eşitse karşılık gelen katsayılar eşittir. x²'li terimlerden a + 1 = 4 ve a = 3, x'li terimlerden 3 = c − 2 ve c = 5, sabit terimlerden b = 5 bulunur. Toplam 3 + 5 + 5 = 13'tür.
Sık yapılan hatalar
- Kuralları farklı diye iki fonksiyonun eşit olamayacağını sanmak; eşitlik tanım kümesine bağlıdır.
- f/g fonksiyonunda paydayı sıfır yapan değerleri tanım kümesinden çıkarmayı unutmak.
- (f·g)(x) ile (f ∘ g)(x) ifadelerini karıştırmak.
- Eşit fonksiyonların tanım kümeleri aynıdır ve her x için f(x) = g(x) olur.
- (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) ve (f·g)(x) = f(x)·g(x).
- (f/g)(x) yalnızca g(x) ≠ 0 olan x değerlerinde tanımlıdır.