Konu anlatımı
Bazı fonksiyonlar özel bir kurala ya da simetriye sahip olduğu için ayrı adlarla anılır. Bu alt başlıkta sabit ve birim fonksiyonları, tek ve çift fonksiyonları ve farklı aralıklarda farklı kurallarla tanımlanan parçalı fonksiyonları göreceksin.
Sabit ve birim fonksiyon
Tanım kümesinin bütün elemanlarını değer kümesinin aynı elemanına eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir; f(x) = 5 gibi. Grafiği x eksenine paralel bir doğrudur. f(x) = (a − 2)x + 3 fonksiyonunun sabit olması için x'in katsayısı sıfır olmalıdır, yani a = 2 olmalıdır.
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim ya da özdeşlik fonksiyonu denir ve I(x) = x ile gösterilir; grafiği y = x doğrusudur. f(x) = (b + 1)x + (c − 4) birim fonksiyonsa b + 1 = 1 ve c − 4 = 0 olmalıdır; b = 0 ve c = 4 bulunur.
Tek ve çift fonksiyon
Her x için f(−x) = f(x) oluyorsa f çift fonksiyondur ve grafiği y eksenine göre simetriktir. Her x için f(−x) = −f(x) oluyorsa f tek fonksiyondur ve grafiği başlangıç noktasına göre simetriktir. f(x) = x⁴ − 3x² çift, f(x) = x³ + 2x tektir. f(x) = x + 1 ise ne tek ne çifttir: f(−x) = −x + 1 ifadesi ne f(x)'e ne de −f(x)'e eşittir.
Bu özellik değer bulmada kullanılır: f tek ve f(3) = 7 ise f(−3) = −7'dir. Tek bir fonksiyon x = 0'da tanımlıysa f(0) = −f(0) eşitliğinden f(0) = 0 bulunur.
Parçalı tanımlı fonksiyon
Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı kurallarla verilen fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir. Örneğin f(x), x < 1 için 2x + 3, x ≥ 1 için 6 − x olarak verilebilir. Değer bulurken önce x'in hangi aralıkta olduğuna bakılır: f(−2) = −1 ve f(4) = 2'dir. x = 1 değeri ikinci kurala aittir ve f(1) = 5 olur.
Grafik her aralıkta kendi kuralıyla çizilir; aralığa dahil olmayan uç nokta boş, dahil olan uç nokta dolu daireyle gösterilir. Lise programı parçalı tanımlı fonksiyonları tanıtır ve grafiklerini çizdirir, ancak bu fonksiyonlarla dört işleme, bileşkeye ve ters fonksiyona girmez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. f(x) = (a − 1)x² + (b + 2)x + c − 3 fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır?
Çözüm. Birim fonksiyonda f(x) = x olmalıdır; x²'nin katsayısı 0, x'in katsayısı 1 ve sabit terim 0'dır. a − 1 = 0 için a = 1, b + 2 = 1 için b = −1 ve c − 3 = 0 için c = 3 bulunur. Toplam 1 + (−1) + 3 = 3'tür.
Örnek 2. Gerçek sayılarda tanımlı f çift, g tek fonksiyondur. f(2) = 5 ve g(2) = 3 olduğuna göre f(−2) + g(−2) + g(0) toplamı kaçtır?
Çözüm. f çift olduğundan f(−2) = f(2) = 5'tir. g tek olduğundan g(−2) = −g(2) = −3'tür. Tek fonksiyon 0'da tanımlıysa g(0) = −g(0) eşitliğinden g(0) = 0 bulunur. Toplam 5 − 3 + 0 = 2'dir.
Örnek 3. f(x), x ≤ 2 için x² − 1, x > 2 için 3x − 2 kuralıyla tanımlanıyor. f(−1) + f(2) + f(4) toplamı kaçtır? f(a) = 7 eşitliğini sağlayan a değerleri nelerdir?
Çözüm. −1 ve 2 birinci aralıktadır: f(−1) = 0 ve f(2) = 3. 4 ikinci aralıktadır: f(4) = 10. Toplam 13'tür. f(a) = 7 için iki kuralı ayrı çözeriz. a² − 1 = 7 ise a = 2√2 ya da a = −2√2 olur; 2√2 ≈ 2,83 değeri 2'den büyük olduğu için birinci aralıkta değildir ve atılır. 3a − 2 = 7 ise a = 3 olur ve 3 > 2 olduğu için uygundur. Çözümler −2√2 ve 3'tür.
Sık yapılan hatalar
- Her fonksiyonun ya tek ya çift olduğunu sanmak; çoğu fonksiyon ikisi de değildir.
- Parçalı fonksiyonda x'in hangi aralıkta olduğuna bakmadan yanlış kuralı kullanmak.
- Parçalı fonksiyonda bir denklemi çözerken bulunan kökün o kuralın aralığında olup olmadığını kontrol etmemek.
- Sabit fonksiyonda x'li terimlerin katsayıları 0'dır; birim fonksiyon I(x) = x biçimindedir.
- Çift: f(−x) = f(x), y eksenine göre simetri; tek: f(−x) = −f(x), başlangıç noktasına göre simetri.
- Parçalı fonksiyonda önce aralığı belirle, sonra o aralığın kuralını uygula.