Konu anlatımı
Bir fonksiyonun grafiği, onun bütün değerlerini tek bakışta gösterir. Bu alt başlıkta grafikten tanım ve görüntü kümesini okumayı, denklemlerin köklerini ve çözüm sayılarını bulmayı ve fonksiyonun pozitif ya da negatif olduğu aralıkları belirlemeyi göreceksin.
Değer, tanım ve görüntü kümesi
y = f(x) grafiği üzerindeki her (a, b) noktası f(a) = b bilgisini verir. Grafiğin x ekseni üzerindeki izdüşümü tanım kümesini, y ekseni üzerindeki izdüşümü görüntü kümesini verir. Grafiği (−3, 2), (0, −1) ve (4, 3) noktalarını sırasıyla birleştiren doğru parçalarından oluşan bir fonksiyonun tanım kümesi [−3, 4], görüntü kümesi [−1, 3] aralığıdır. Grafikte dolu nokta o noktanın grafiğe ait olduğunu, boş nokta ait olmadığını gösterir.
Kökler ve yatay doğrular
Grafiğin x eksenini kestiği noktaların apsisleri f(x) = 0 denkleminin gerçek kökleridir. f(x) = k denkleminin çözümleri ise y = k yatay doğrusunun grafiği kestiği noktaların apsisleridir; çözüm sayısı kesişim noktası sayısıdır. Doğruyu yukarı aşağı kaydırarak çözüm sayısının nasıl değiştiğini görebilirsin. Uç noktaların ve kırılma noktalarının ordinatlarında çözüm sayısı çoğu zaman değişir; bu değerleri ayrıca kontrol et.
(f(x))² = 2f(x) gibi denklemler önce çarpanlara ayrılır: f(x)·(f(x) − 2) = 0, yani f(x) = 0 ya da f(x) = 2 olmalıdır. İki yatay doğrunun kesişim sayıları toplanır; ortak bir nokta varsa bir kez sayılır. İki tarafı f(x) ile bölmek f(x) = 0 köklerini kaybettirir.
İşaret incelemesi
Grafiğin x ekseninin üstünde kaldığı aralıkta f(x) > 0, altında kaldığı aralıkta f(x) < 0 olur; eksen üzerindeki noktalarda f(x) = 0'dır. f(x)·(x − 1) ≤ 0 gibi eşitsizliklerde iki çarpanın işaretleri ayrı ayrı belirlenir: çarpım, çarpanlar zıt işaretliyken negatif, en az biri sıfırken sıfırdır. Tam sayı çözümler istendiğinde tanım kümesindeki her tam sayı tek tek kontrol edilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. [−3, 5] aralığında tanımlı f fonksiyonunun grafiği (−3, −1), (−1, 3), (2, 0) ve (5, 2) noktalarını sırasıyla birleştiren doğru parçalarından oluşuyor. (f(x))² = 2f(x) denkleminin kaç farklı çözümü vardır?
Çözüm. Denklem f(x)·(f(x) − 2) = 0 biçimindedir; f(x) = 0 ya da f(x) = 2 olmalıdır. y = 0 doğrusu grafiği birinci parçada x = −2,5'te ve (2, 0) köşesinde keser: 2 çözüm. y = 2 doğrusu birinci parçada x = −1,5'te, ikinci parçada x = 0'da ve sağ uç olan x = 5'te keser: 3 çözüm. Ortak çözüm olmadığından toplam 5 farklı çözüm vardır.
Örnek 2. Aynı f fonksiyonu için f(x)·(x − 1) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?
Çözüm. Grafiğe göre f, [−3, −2,5) aralığında negatif, −2,5'te sıfır, (−2,5; 2) aralığında pozitif, 2'de sıfır ve (2, 5] aralığında pozitiftir. x = −3'te iki çarpan da negatiftir, çarpım pozitiftir. x = −2, −1 ve 0'da f pozitif, x − 1 negatiftir; çarpım negatiftir. x = 1'de x − 1 = 0, x = 2'de f(2) = 0 olduğundan çarpım sıfırdır. x = 3, 4 ve 5'te iki çarpan da pozitiftir. Eşitsizliği −2, −1, 0, 1 ve 2 olmak üzere 5 tam sayı sağlar.
Sık yapılan hatalar
- Uç noktalarda ve kırılma noktalarında kesişimleri saymamak ya da bir noktayı iki kez saymak.
- (f(x))² = 2f(x) denkleminde iki tarafı f(x) ile bölüp f(x) = 0 köklerini kaybetmek.
- İşaret incelemesinde çarpanlardan birinin sıfır olduğu noktaları ≤ eşitsizliğine katmamak.
- x eksenindeki izdüşüm tanım kümesini, y eksenindeki izdüşüm görüntü kümesini verir.
- f(x) = k denkleminin çözüm sayısı, y = k doğrusunun grafiği kestiği nokta sayısıdır.
- Grafik eksenin üstündeyse f(x) > 0, altındaysa f(x) < 0'dır.