Konu anlatımı
Fonksiyon, matematiğin en çok kullanılan kavramlarından biridir. Bu alt başlıkta bir eşlemenin hangi koşullarda fonksiyon olduğunu, tanım, değer ve görüntü kümelerini ve fonksiyonların ok şeması, sıralı ikili, tablo ve grafikle nasıl gösterildiğini göreceksin. Lise programında yalnızca gerçek sayılar üzerinde tanımlı fonksiyonlar ele alınır.
Tanım
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A'nın her elemanını B'nin yalnız bir elemanına eşleyen kurala A'dan B'ye bir fonksiyon denir ve f: A → B biçiminde gösterilir. A'ya tanım kümesi, B'ye değer kümesi denir. x'in eşlendiği f(x) elemanına x'in görüntüsü denir. Görüntülerin kümesi f(A) ile gösterilir ve görüntü kümesi adını alır; her zaman f(A) ⊂ B olur.
Bir eşlemenin fonksiyon olması için iki koşul vardır: tanım kümesinde görüntüsü olmayan eleman kalmamalı ve hiçbir eleman iki farklı elemanla eşlenmemelidir. Değer kümesinde ise açıkta eleman kalabilir ve bir elemana birden çok ok gelebilir; bunlar fonksiyon olmayı bozmaz.
Gösterim biçimleri
A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6, 8} ve f(x) = 2x olsun. Ok şemasında A'nın her elemanından B'deki görüntüsüne bir ok çizilir: 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6. Aynı fonksiyon sıralı ikililerle f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} biçiminde, bir tabloyla ya da koordinat düzleminde üç noktayla gösterilebilir. Bu örnekte görüntü kümesi {2, 4, 6} olur ve 8 açıkta kalır.
Sonlu kümelerde fonksiyon sayısı çarpma yöntemiyle bulunur: A'nın her elemanı için B'nin eleman sayısı kadar seçenek vardır. s(A) = 3 ve s(B) = 2 ise A'dan B'ye 2·2·2 = 8 fonksiyon tanımlanabilir.
Düşey doğru testi
Bir grafiğin bir fonksiyona ait olup olmadığını anlamak için tanım kümesindeki her noktadan y eksenine paralel doğrular düşünülür. Her doğru grafiği yalnız bir noktada kesiyorsa grafik bir fonksiyonun grafiğidir. Bir çember fonksiyon grafiği değildir, çünkü bazı düşey doğrular onu iki noktada keser. Grafikten tanım kümesi x ekseni üzerindeki izdüşümle, görüntü kümesi y ekseni üzerindeki izdüşümle okunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A = {−1, 0, 1, 2} kümesinden tam sayılara f(x) = x² − 1 kuralıyla tanımlanan fonksiyonun görüntü kümesi nedir?
Çözüm. Her elemanın görüntüsünü buluruz: f(−1) = 0, f(0) = −1, f(1) = 0 ve f(2) = 3. Görüntü kümesi {−1, 0, 3} olur ve 3 elemanlıdır. −1 ile 1'in görüntüsünün aynı olması fonksiyon olmayı bozmaz; yalnızca fonksiyonun bire bir olmadığını gösterir.
Örnek 2. A = {a, b, c} ve B = {1, 2} olduğuna göre A'dan B'ye tanımlanabilecek kaç fonksiyon vardır? Bunlardan kaçı örtendir?
Çözüm. A'nın her elemanı 1 ya da 2 ile eşlenebilir; fonksiyon sayısı 2·2·2 = 8'dir. Örten olmayanlar, B'nin bir elemanını açıkta bırakanlardır: bütün elemanları 1'e götüren ve bütün elemanları 2'ye götüren iki sabit fonksiyon. Örten fonksiyon sayısı 8 − 2 = 6'dır.
Sık yapılan hatalar
- Değer kümesinde açıkta eleman kalmasını fonksiyon olmamanın nedeni sanmak; açıkta eleman yalnızca tanım kümesinde kalamaz.
- Görüntü kümesi ile değer kümesini aynı sanmak.
- Bir elemana birden çok ok gelmesini sorun sanmak; fonksiyonu bozan, bir elemandan birden çok ok çıkmasıdır.
- Tanım kümesinin her elemanı tam olarak bir görüntüye sahip olmalıdır.
- Görüntü kümesi f(A), değer kümesinin bir alt kümesidir.
- Düşey doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa grafik fonksiyon değildir.