Konu anlatımı
Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi, onun bire bir ve örten olmasına bağlıdır. Bu alt başlıkta bu kavramları ok şemasında, cebirsel olarak ve grafikte yatay doğru testiyle incelemeyi göreceksin.
Bire bir fonksiyon
f: A → B fonksiyonunda tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri her zaman farklıysa f bire birdir. Cebirsel olarak f(a) = f(b) eşitliğinden a = b sonucu çıkıyorsa fonksiyon bire birdir. f(x) = 3x − 5 bire birdir: 3a − 5 = 3b − 5 ise a = b olur. Gerçek sayılardan gerçek sayılara f(x) = x² ise bire bir değildir, çünkü f(2) = f(−2) = 4'tür. Ok şemasında bire bir fonksiyonun değer kümesindeki hiçbir elemana birden fazla ok gelmez.
Örten ve içine fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşitse, yani değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa fonksiyon örtendir. Değer kümesinde en az bir eleman açıkta kalıyorsa fonksiyon içinedir. Gerçek sayılardan gerçek sayılara f(x) = 2x + 1 örtendir: her y gerçek sayısı için x = (y − 1)/2 alınırsa f(x) = y olur.
Gerçek sayılardan gerçek sayılara f(x) = x² ise içinedir, çünkü negatif sayılar hiçbir elemanın görüntüsü değildir. Aynı kural değer kümesi [0, ∞) aralığı seçilerek tanımlanırsa örten olur. Yani örtenlik, kural kadar değer kümesinin seçimine de bağlıdır.
Yatay doğru testi
Grafikte bire birliği anlamak için değer kümesindeki her noktadan x eksenine paralel doğrular düşünülür. Her yatay doğru grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir. Değer kümesindeki her noktadan çizilen yatay doğru grafiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir. Her yatay doğru grafiği tam olarak bir noktada kesiyorsa fonksiyon hem bire bir hem örtendir ve tersi de bir fonksiyondur.
Eğimi sıfırdan farklı her doğru bu testi geçer. Bu yüzden a ≠ 0 için gerçek sayılardan gerçek sayılara f(x) = ax + b fonksiyonu hem bire bir hem örtendir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A = {1, 2, 3} kümesinden B = {a, b, c, d} kümesine tanımlanan bire bir fonksiyonların sayısı kaçtır? Bu fonksiyonlardan örten olan var mıdır?
Çözüm. 1'in görüntüsü için 4 seçenek vardır. Bire birlik için 2'nin görüntüsü farklı olmalıdır; 3 seçenek kalır. 3'ün görüntüsü için 2 seçenek kalır. Bire bir fonksiyon sayısı 4·3·2 = 24'tür. Örten fonksiyon yoktur: A'nın yalnızca 3 elemanı olduğu için en fazla 3 farklı görüntü elde edilir ve B'nin 4 elemanından en az biri açıkta kalır.
Örnek 2. Gerçek sayılardan gerçek sayılara f(x) = x² + 1 fonksiyonu bire bir midir, örten midir? Bu kuralın bire bir ve örten olması için tanım ve değer kümesi nasıl seçilebilir?
Çözüm. f(1) = f(−1) = 2 olduğundan fonksiyon bire bir değildir. x² + 1 hiçbir zaman 1'den küçük olmadığı için 1'den küçük değerler açıkta kalır; fonksiyon örten değil, içinedir. Tanım kümesi [0, ∞) ve değer kümesi [1, ∞) seçilirse her y ≥ 1 için x² = y − 1 eşitliğini sağlayan tek bir x ≥ 0 vardır. Bu kümelerle fonksiyon hem bire bir hem örtendir.
Sık yapılan hatalar
- Örtenliği yalnızca kurala bakarak belirlemek; değer kümesi değişince sonuç değişebilir.
- Yatay doğru testiyle düşey doğru testini karıştırmak; düşey test fonksiyon olmayı, yatay test bire birliği sınar.
- Bire bir bir fonksiyonun her zaman örten olduğunu sanmak.
- Bire bir: f(a) = f(b) ise a = b.
- Örten: görüntü kümesi değer kümesine eşittir; içine: değer kümesinde açıkta eleman kalır.
- Tersin fonksiyon olması için f bire bir ve örten olmalıdır.