Konu anlatımı
aⁿ ifadesi, a sayısının n kez kendisiyle çarpımını kısaca yazmanın yoludur: 2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32. Burada a'ya taban, n'ye üs (kuvvet) denir. Üslü sayılar çok büyük ve çok küçük sayıları kısa yazmanı, tekrarlı çarpımları hızlı hesaplamanı sağlar.
Bu sayfada üssün tanımını sıfır ve negatif tam sayılara genişletecek, kuralları neden doğru olduklarıyla birlikte göreceksin. Her kuralın ayrıntılı anlatımı ve ek örnekleri alt başlıklarda yer alıyor.
Tanım, sıfır üs ve negatif üs
n pozitif tam sayı olmak üzere aⁿ = a·a·...·a (n tane a) ve a¹ = a'dır. Kuralların tutarlı kalması için a ≠ 0 olmak üzere a⁰ = 1 ve a⁻ⁿ = 1/aⁿ tanımlanır. Nedeni şudur: aⁿ/aⁿ = 1 olmalıdır ve bölme kuralına göre bu bölüm aⁿ⁻ⁿ = a⁰'dır. Benzer biçimde a⁰/aⁿ = a⁻ⁿ = 1/aⁿ olur. 0⁰ ise tanımsızdır.
Negatif üs sayıyı negatif yapmaz, tersini alır: 2⁻³ = 1/8 ve (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.
Negatif tabanın kuvvetleri
Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8. Parantez önemlidir: −2⁴ ifadesinde üs yalnızca 2'ye aittir ve sonuç −16'dır. (−1)ⁿ ifadesi n çiftse 1, n tekse −1'dir.
Çarpma, bölme ve üssün üssü
Kuralların hepsi tanımdan gelir: a³·a² = (a·a·a)·(a·a) = a⁵. Toplama ve çıkarma için böyle bir üs kuralı yoktur: 2³ + 2² = 8 + 4 = 12'dir, 2⁵ = 32 değildir.
- aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ: tabanlar aynıysa çarpmada üsler toplanır.
- aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0): tabanlar aynıysa bölmede üsler çıkarılır.
- aⁿ·bⁿ = (a·b)ⁿ ve aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ: üsler aynıysa tabanlar çarpılır ya da bölünür.
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ: üssün üssünde üsler çarpılır.
Toplama, çıkarma ve ortak çarpan
Tabanları ve üsleri aynı olan terimler benzer terim gibi toplanır: 3·2⁵ + 5·2⁵ = 8·2⁵ = 2³·2⁵ = 2⁸. Üsleri farklı terimlerde en küçük kuvvet ortak çarpan parantezine alınır: 3ⁿ⁺² − 3ⁿ = 3ⁿ·(3² − 1) = 8·3ⁿ.
Üslü denklemler, sıralama ve bilimsel gösterim
Tabanlar eşitlenebiliyorsa üsler eşitlenir: 4ˣ⁺¹ = 8ˣ için 2²ˣ⁺² = 2³ˣ, buradan 2x + 2 = 3x ve x = 2 bulunur. Taban pozitif ve 1'den farklıysa aynı tabanlı iki kuvvet ancak üsleri eşitse eşittir.
Sıralamada ya tabanlar ya da üsler eşitlenir. Taban 1'den büyükse üssü büyük olan büyüktür; üsleri eşit pozitif tabanlı kuvvetlerde tabanı büyük olan büyüktür. 2³⁰ ile 3²⁰'yi karşılaştırmak için üsleri 10'da eşitleriz: 2³⁰ = 8¹⁰ ve 3²⁰ = 9¹⁰ olduğundan 3²⁰ daha büyüktür.
Çok büyük ve çok küçük pozitif sayılar a·10ⁿ biçiminde yazılır; burada 1 ≤ a < 10 ve n bir tam sayıdır: 45 000 = 4,5·10⁴ ve 0,00072 = 7,2·10⁻⁴. Bu yazıma bilimsel gösterim denir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (2⁻¹ + 3⁻¹)⁻¹ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Önce parantezin içini hesaplarız: 2⁻¹ = 1/2 ve 3⁻¹ = 1/3 olduğundan toplam 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6'dır. Dıştaki −1 üssü kesri ters çevirir: (5/6)⁻¹ = 6/5. Sonuç 6/5'tir; (2 + 3)⁻¹ = 1/5 ile karıştırılmamalıdır.
Örnek 2. (8³·27²)/(6⁵·4²) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Tabanları asal çarpanlarına ayırırız: 8³ = 2⁹, 27² = 3⁶, 6⁵ = 2⁵·3⁵ ve 4² = 2⁴. Pay 2⁹·3⁶, payda 2⁵·3⁵·2⁴ = 2⁹·3⁵ olur. Sadeleştirince 2⁹⁻⁹·3⁶⁻⁵ = 2⁰·3¹ = 3 bulunur.
Örnek 3. (5ⁿ⁺¹ + 5ⁿ)/(5ⁿ⁻¹ + 5ⁿ) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Pay ve paydada en küçük kuvveti ortak çarpan yaparız. Pay: 5ⁿ⁺¹ + 5ⁿ = 5ⁿ·(5 + 1) = 6·5ⁿ. Payda: 5ⁿ⁻¹ + 5ⁿ = 5ⁿ⁻¹·(1 + 5) = 6·5ⁿ⁻¹. Bölüm 6·5ⁿ/(6·5ⁿ⁻¹) = 5ⁿ⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ = 5¹ = 5'tir.
Örnek 4. 3²ˣ⁻¹ = 27ˣ⁻² olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm. Sağ tarafı 3 tabanında yazarız: 27ˣ⁻² = (3³)ˣ⁻² = 3³ˣ⁻⁶. Tabanlar eşit olduğu için üsler eşittir: 2x − 1 = 3x − 6. Buradan x = 5 bulunur. Kontrol: 3⁹ = 27³, çünkü 27³ = (3³)³ = 3⁹.
Sık yapılan hatalar
- Negatif üssün sayıyı negatif yaptığını sanmak: 2⁻³ = −8 değil 1/8'dir.
- −2⁴ ile (−2)⁴'ü aynı sanmak.
- Toplamada üsleri toplamak: 2³ + 2² = 2⁵ gibi.
- (2³)² ile üssü 3² olan 2'nin kuvvetini karıştırmak: (2³)² = 2⁶ = 64 iken üssü 3² = 9 olan sayı 2⁹ = 512'dir.
- a⁰ = 0 sanmak; a ≠ 0 için a⁰ = 1'dir.
- a ≠ 0 için a⁰ = 1 ve a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
- Çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır, üssün üssünde çarpılır.
- Toplama ve çıkarmada önce en küçük kuvveti ortak çarpan parantezine al.
- Negatif tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir.
- Sıralamada tabanları ya da üsleri eşitle.