Konu anlatımı
Bir üslü sayının yeniden kuvveti alındığında üsler çarpılır. Bu kural, farklı görünen tabanları aynı tabanda yazmanın ve büyük kuvvetleri karşılaştırmanın temel aracıdır. Bu alt başlıkta kuralı, sık karıştırılan bir gösterimi ve kuralın kullanım alanlarını göreceksin.
Kural ve nedeni
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ'dir. (a³)² = a³·a³ = a⁶ örneğinde görüldüğü gibi, aᵐ'yi n kez çarpınca m üssü n kez toplanır ve m·n elde edilir. Kural negatif üsler için de geçerlidir: (2⁻²)³ = 2⁻⁶ = 1/64.
Üslerin sırası sonucu değiştirmez: (aᵐ)ⁿ = (aⁿ)ᵐ = aᵐⁿ olduğu için (2³)⁴ ile (2⁴)³ aynı sayıdır ve ikisi de 2¹²'dir. Negatif tabanlarda parantez işaret bilgisini taşır: ((−2)³)² = (−8)² = 64 = (−2)⁶ ve toplam üs çift olduğu için sonuç pozitiftir.
(aᵐ)ⁿ ile üssü kuvvet olan sayı
Parantezsiz yazılan bir kuvvetin üssü ayrıca bir kuvvetse işlem yukarıdan aşağıya yapılır: üs olarak 3² yazılmışsa önce 3² = 9 hesaplanır ve sayı 2⁹ = 512 olur. (2³)² ise 2⁶ = 64'tür. İkisini karıştırmamak için üssün parantezli mi, yoksa üssün üssü olarak mı yazıldığına dikkat et.
Çarpımın kuvveti ve taban dönüştürme
(a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ ve (aᵐ·bᵏ)ⁿ = aᵐⁿ·bᵏⁿ olur: (2²·3)³ = 2⁶·3³. Kural tersine de kullanılır; bir kuvveti başka tabanda yazmak için üs bölüştürülür: 2¹² = (2³)⁴ = 8⁴ = (2⁴)³ = 16³ = (2⁶)² = 64². Bu dönüşüm, karşılaştırmada ve denklemlerde tabanları ya da üsleri eşitlemeyi sağlar.
Örneğin 2ˣ = 5 biliniyorsa 8ˣ = (2³)ˣ = (2ˣ)³ = 125 ve 4ˣ⁺¹ = 4·4ˣ = 4·(2ˣ)² = 4·25 = 100 bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (4³)²/(2⁵)² işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Üssün üssünde üsler çarpılır: (4³)² = 4⁶ ve (2⁵)² = 2¹⁰. 4⁶'yı 2 tabanında yazarız: 4⁶ = (2²)⁶ = 2¹². Bölüm 2¹²/2¹⁰ = 2² = 4'tür.
Örnek 2. 3ᵃ = 2 olduğuna göre 27ᵃ⁺¹ + 9ᵃ ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm. Her terimi 3ᵃ cinsinden yazarız. 27ᵃ⁺¹ = 27·27ᵃ = 27·(3³)ᵃ = 27·(3ᵃ)³ = 27·8 = 216. 9ᵃ = (3²)ᵃ = (3ᵃ)² = 4. Toplam 216 + 4 = 220'dir.
Örnek 3. 8⁴ ile 16³ sayılarının eşit olduğunu gösteriniz. Bu sayı 4'ün kaçıncı kuvvetidir?
Çözüm. İki sayıyı da 2 tabanında yazarız: 8⁴ = (2³)⁴ = 2¹² ve 16³ = (2⁴)³ = 2¹². İkisi de 2¹² olduğu için eşittir. 4ᵏ = (2²)ᵏ = 2²ᵏ olduğundan 2k = 12 ve k = 6 bulunur. Sayı 4⁶'dır.
Sık yapılan hatalar
- (aᵐ)ⁿ ifadesinde üsleri toplamak.
- Üssü bir kuvvet olarak yazılmış sayıyı (aᵐ)ⁿ ile karıştırmak.
- (a + b)ⁿ ifadesini aⁿ + bⁿ sanmak; kural yalnızca çarpım ve bölüm için geçerlidir.
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
- (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ ama genel olarak (a + b)ⁿ, aⁿ + bⁿ'ye eşit değildir.
- Bir kuvveti başka tabanda yazmak için üssü bölüştür: 2¹² = 8⁴ = 16³ = 64².