Konu anlatımı
Tabanı negatif olan üslü sayılarda sonucun işareti üssün tek ya da çift olmasına bağlıdır. Parantezin yeri de sonucu tamamen değiştirebilir. Bu alt başlıkta bu iki noktayı netleştirecek ve işaret sorularını hızlı çözmeyi öğreneceksin.
Çift ve tek kuvvet
Negatif bir sayıyı kendisiyle çarptıkça işaret her adımda değişir: (−2)¹ = −2, (−2)² = 4, (−2)³ = −8, (−2)⁴ = 16. Çift sayıda negatif çarpan pozitif, tek sayıda negatif çarpan negatif sonuç verdiği için negatif tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir.
(−1)ⁿ ifadesi bu kuralın en sade hâlidir: n çiftse 1, n tekse −1. Bu yüzden (−1)¹⁰⁰ = 1, (−1)⁹⁹ = −1 ve toplamları 0'dır. Negatif üslerde de aynı kural geçerlidir: (−2)⁻² = 1/4 pozitif, (−2)⁻³ = −1/8 negatiftir.
Parantezin yeri
Üs, hemen solundaki sayıya ya da parantezin tamamına aittir. (−3)² ifadesinde üs parantezin tamamına aittir: (−3)·(−3) = 9. −3² ifadesinde ise üs yalnızca 3'e aittir ve önündeki eksi sonradan uygulanır: −(3·3) = −9. Aynı biçimde −2⁴ = −16 iken (−2)⁴ = 16'dır.
Bir harf negatif değer alıyorsa yerine koyarken mutlaka parantez kullan: a = −2 için a² = (−2)² = 4 ve −a² = −(−2)² = −4 olur.
Üs bir harf olduğunda
Üs bir harf ise işareti bulmak için harfin tek mi çift mi olduğunu belirlemen gerekir. n bir pozitif tam sayı ise 2n her zaman çift, 2n + 1 her zaman tektir; bu yüzden (−5)²ⁿ pozitif, (−5)²ⁿ⁺¹ negatiftir. n'nin tek-çift durumu bilinmiyorsa (−5)ⁿ'nin işareti belirlenemez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (−1)²⁰²⁶ − (−1)²⁰²⁷ + (−1)⁻³ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. 2026 çift olduğu için (−1)²⁰²⁶ = 1; 2027 tek olduğu için (−1)²⁰²⁷ = −1. (−1)⁻³ = 1/(−1)³ = 1/(−1) = −1. İşlem 1 − (−1) + (−1) = 1 + 1 − 1 = 1'dir.
Örnek 2. a = −2 ve b = −3 için −a² + b³ − (ab)² ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm. Değerleri parantezle yerleştiririz. −a² = −(−2)² = −4. b³ = (−3)³ = −27. ab = (−2)·(−3) = 6 ve (ab)² = 36. İfade −4 + (−27) − 36 = −67 olur.
Örnek 3. n bir pozitif tam sayı olmak üzere (−2)²ⁿ⁺¹ + 2²ⁿ⁺¹ toplamı kaçtır?
Çözüm. 2n + 1 her zaman tektir. Negatif tabanın tek kuvveti negatif olduğundan (−2)²ⁿ⁺¹ = −2²ⁿ⁺¹ yazılır. Toplam −2²ⁿ⁺¹ + 2²ⁿ⁺¹ = 0'dır.
Sık yapılan hatalar
- −3² ifadesini 9 sanmak.
- Negatif bir değeri harfin yerine parantezsiz koymak.
- Üssün işaretini sonucun işaretiyle karıştırmak: (−2)⁻² pozitiftir.
- Negatif tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir.
- (−a)ⁿ ile −aⁿ farklıdır; üs yalnızca hemen solundakine aittir.
- −1'in çift kuvvetleri 1, tek kuvvetleri −1'dir.