Konu anlatımı
Bilinmeyeni üste olan denklemlere üslü denklem denir. Çözümün ana fikri basittir: iki tarafı aynı tabanda yazıp üsleri eşitlemek. Bu alt başlıkta bu yöntemi, kuvvetin 1'e eşit olduğu durumları ve kuralın bozulduğu özel tabanları öğreneceksin.
Tabanları eşitleme
a pozitif ve a ≠ 1 olmak üzere aᵐ = aⁿ ise m = n'dir. Bu yüzden iki tarafı aynı tabanda yazarsın: 9ˣ⁻¹ = 27ˣ⁻³ için 3²ˣ⁻² = 3³ˣ⁻⁹ olur; 2x − 2 = 3x − 9 ve x = 7 bulunur. Kesirler ve negatif üsler de aynı tabana çevrilir: (1/4)ˣ = 64 için 2⁻²ˣ = 2⁶, yani −2x = 6 ve x = −3.
Toplam içeren denklemlerde önce ortak çarpan alınır, sonra tabanlar eşitlenir: 2ˣ⁺² + 2ˣ = 40 için 2ˣ·(4 + 1) = 40, yani 2ˣ = 8 ve x = 3.
Kuvvetin 1'e eşit olması
Pozitif ve 1'den farklı bir tabanın kuvveti ancak üs 0 ise 1'e eşittir, çünkü sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir: 7²ˣ⁻⁶ = 1 için 2x − 6 = 0 ve x = 3.
Taban da bilinmeyen içeriyorsa üç durum incelenir: üs 0 olabilir (taban 0 değilken), taban 1 olabilir ya da taban −1 iken üs çift olabilir. (x − 2)ˣ⁺¹ = 1 denkleminde x = −1 için taban −3 ve üs 0'dır; x = 3 için taban 1'dir; x = 1 için taban −1 ve üs 2 çifttir. Çözüm kümesi {−1, 1, 3}'tür.
Değişken değiştirme
Aynı kuvvetin karesi de denklemde geçiyorsa yeni bir harf tanımlanır. 4ˣ − 3·2ˣ − 4 = 0 denkleminde 2ˣ = t dersen 4ˣ = (2ˣ)² = t² olur ve denklem t² − 3t − 4 = 0, yani (t − 4)(t + 1) = 0 biçimine gelir. 2ˣ her zaman pozitif olduğu için t = −1 atılır; t = 4'ten 2ˣ = 4 ve x = 2 bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 2ˣ⁺¹ + 2ˣ⁻¹ = 40 olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm. En küçük kuvvet 2ˣ⁻¹'dir; ortak çarpan parantezine alırız: 2ˣ⁻¹·(2² + 1) = 5·2ˣ⁻¹ = 40. Buradan 2ˣ⁻¹ = 8 = 2³, yani x − 1 = 3 ve x = 4 bulunur. Kontrol: 2⁵ + 2³ = 32 + 8 = 40.
Örnek 2. (x + 3)ˣ⁻² = 1 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm. Üç durumu incelersin. Üs 0 ise x − 2 = 0 ve x = 2; taban 5 olduğu için geçerlidir. Taban 1 ise x + 3 = 1 ve x = −2; 1'in her kuvveti 1'dir. Taban −1 ise x + 3 = −1 ve x = −4; üs −6 çift olduğu için (−1)⁻⁶ = 1 sağlanır. Değerler 2, −2 ve −4'tür; toplamları −4'tür.
Sık yapılan hatalar
- Tabanları eşitlemeden üsleri eşitlemek ya da sayıları bölmek: 4ˣ = 8 için x = 2 demek gibi.
- Taban bilinmeyen içerirken taban 1 ve taban −1 durumlarını unutmak.
- Değişken değiştirmede 2ˣ'in negatif olamayacağını unutup negatif kökü kabul etmek.
- a pozitif ve a ≠ 1 ise aᵐ = aⁿ ⇔ m = n.
- Tabanı bilinmeyen içeren bir kuvvet 1'e eşitse üç durumu incele: üs 0 (taban 0 değil), taban 1, taban −1 ve üs çift.
- 2ˣ = t gibi bir değişken değiştirmede t'nin pozitif olduğunu unutma.