Konu anlatımı
Üslü sayıları hesaplamadan karşılaştırmak için ortak bir taban ya da ortak bir üs bulmak gerekir. Bu alt başlıkta hangi durumda hangisini eşitleyeceğini ve tabanın 1'den küçük olduğu durumda sıranın nasıl ters döndüğünü göreceksin.
Tabanlar eşitse
Taban 1'den büyükse üssü büyük olan sayı büyüktür: 3⁵ > 3⁴. Taban 0 ile 1 arasındaysa her çarpma sayıyı küçülttüğü için üssü büyük olan küçüktür: (1/2)⁵ = 1/32 < (1/2)⁴ = 1/16.
Tabanları eşitlemek için sayıları ortak bir asalın kuvveti olarak yazarsın: 8⁵ = 2¹⁵, 4⁷ = 2¹⁴ ve 16⁴ = 2¹⁶ olduğundan sıralama 4⁷ < 8⁵ < 16⁴'tür.
Üsler eşitse
Pozitif tabanlı kuvvetlerde üsler eşitse tabanı büyük olan büyüktür: 5³⁰ > 4³⁰. Üsleri eşitlemek için üslerin ortak bölenini kullanırsın. 2³⁰, 3²⁰ ve 5¹⁰ sayılarında üslerin ortak böleni 10'dur: 2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰, 3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰ ve 5¹⁰. Buna göre 5¹⁰ < 2³⁰ < 3²⁰'dir.
Ne tabanlar ne de üsler kolayca eşitlenemiyorsa uygun bir ara değerle karşılaştırabilirsin. 2¹⁰ = 1024 sayısı 10³'ten biraz büyüktür; buradan 2⁵⁰ = (2¹⁰)⁵ sayısının (10³)⁵ = 10¹⁵'ten büyük olduğu sonucuna hesap yapmadan varırsın.
Negatif ve kesirli tabanlar
Negatif tabanlı kuvvetlerde önce işaretlere bakılır: çift kuvvetler pozitif, tek kuvvetler negatiftir ve her pozitif sayı her negatif sayıdan büyüktür. İki negatif sayıdan işaretsiz değeri büyük olan küçüktür: (−2)⁵ = −32 < (−2)³ = −8.
Negatif üslü sayıları önce pozitif üslü kesirlere çevirmek kolaylık sağlar: 2⁻¹⁰ = 1/2¹⁰ ve 4⁻⁴ = 1/4⁴ = 1/2⁸ olduğundan, paydası büyük olan 2⁻¹⁰ daha küçüktür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a = 2⁴⁰, b = 3³⁰ ve c = 5²⁰ sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
Çözüm. Üslerin ortak böleni 10'dur. a = (2⁴)¹⁰ = 16¹⁰, b = (3³)¹⁰ = 27¹⁰, c = (5²)¹⁰ = 25¹⁰ yazarız. Üsler eşit ve tabanlar pozitif olduğu için tabanı büyük olan büyüktür: 16 < 25 < 27. Sıralama küçükten büyüğe a, c, b'dir.
Örnek 2. a = (1/3)²⁰, b = (1/9)⁸ ve c = (1/27)⁷ sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
Çözüm. Hepsini 1/3 tabanında yazarız: b = ((1/3)²)⁸ = (1/3)¹⁶ ve c = ((1/3)³)⁷ = (1/3)²¹. Taban 0 ile 1 arasında olduğu için üssü büyük olan küçüktür. Üsler 21, 20 ve 16 olduğundan sıralama küçükten büyüğe c, a, b'dir.
Sık yapılan hatalar
- Taban 0 ile 1 arasındayken üssü büyük olanı büyük sanmak.
- Üsleri eşitlerken tabanı yanlış hesaplamak: 3²⁰ = 6¹⁰ gibi; doğrusu 9¹⁰'dur.
- Negatif sayılarda işaretsiz değeri büyük olanı büyük sanmak.
- Taban 1'den büyükse üs büyüdükçe sayı büyür; taban 0 ile 1 arasındaysa küçülür.
- Üsler eşitse pozitif tabanlardan büyük olanın kuvveti büyüktür.
- Üsleri eşitlemek için üslerin ortak bölenini kullan.