Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme

Konu anlatımı

Üslü sayılarla çarpma ve bölme, tabanların ya da üslerin aynı olmasına dayanır. Bu alt başlıkta iki temel kuralı ve tabanları farklı görünen sayıları asal çarpanlarına ayırarak bu kurallara uygun hâle getirmeyi öğreneceksin.

Tabanlar aynıysa

aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ'dir, çünkü m tane a ile n tane a'yı çarpınca m + n tane a çarpılmış olur: 2³·2⁴ = 2⁷. Bölmede pay ile paydadaki ortak a'lar sadeleşir: a ≠ 0 için aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Örneğin 5⁸/5⁵ = 5³ ve 5³/5⁵ = 5⁻² = 1/25.

Kurallar negatif üslerde de aynen geçerlidir: 3⁻⁴·3⁶ = 3² = 9 ve 2⁻³/2⁻⁵ = 2⁻³⁺⁵ = 2² = 4. Bölmede paydanın üssü paydakinden çıkarılır; paydanın üssü negatifse bu çıkarma toplamaya dönüşür. Katsayılı terimlerde katsayılar ayrıca çarpılır, kuvvetler kendi aralarında birleşir: (3·2⁴)·(5·2³) = 15·2⁷.

Üsler aynıysa

aⁿ·bⁿ = (a·b)ⁿ'dir, çünkü çarpanların sırası değiştirilip a·b çiftleri oluşturulabilir: 2⁵·5⁵ = 10⁵ = 100 000. Benzer biçimde b ≠ 0 için aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ olur: 12⁴/4⁴ = 3⁴ = 81. Bu kural, büyük sayıları hesap yapmadan sadeleştirmek için çok kullanışlıdır.

Tabanları asal çarpanlara ayırmak

Tabanlar farklıysa önce asal çarpanlarına ayırırsın; böylece aynı tabanlar ortaya çıkar. 4 = 2², 8 = 2³, 9 = 3², 27 = 3³, 6 = 2·3, 12 = 2²·3 ve 18 = 2·3² gibi ayrışımları tanımak işini hızlandırır.

Örneğin 6⁴·9/(2³·27²) için 6⁴ = 2⁴·3⁴, 9 = 3² ve 27² = 3⁶ yazılır. Pay 2⁴·3⁶, payda 2³·3⁶ olduğundan sonuç 2⁴⁻³ = 2 olur.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• Tabanlar farklıyken üsleri toplamak: 2³·3² = 6⁵ gibi.
• aᵐ·aⁿ çarpımında üsleri toplamak yerine çarpmak.
• Bölmede üsleri ters sırayla çıkarmak: paydanın üssü paydakinden çıkarılır.