Konu anlatımı
Üslü sayılarda toplama ve çıkarma için çarpmadaki gibi hazır bir üs kuralı yoktur. Yöntem, aynı kuvvetleri benzer terim gibi toplamak ya da ortak çarpan parantezine almaktır. Bu alt başlıkta bu iki yolu ve özellikle kesirli ifadelerde nasıl hız kazandırdığını göreceksin.
Benzer terimler
Tabanı ve üssü aynı olan terimler, katsayıları toplanarak birleştirilir: 4·3⁵ + 2·3⁵ = 6·3⁵. Katsayı tabanın bir kuvvetiyse sonuç tek bir kuvvete dönüşebilir: 2⁵ + 2⁵ = 2·2⁵ = 2⁶ ve 3⁴ + 3⁴ + 3⁴ = 3·3⁴ = 3⁵.
Üsleri farklı terimler doğrudan birleşmez: 2³ + 2² = 8 + 4 = 12'dir; 2⁵ = 32 değildir.
Farklı görünen terimler aslında aynı kuvvet olabilir; bu yüzden önce hepsini aynı tabanda yaz. 4ⁿ + 2²ⁿ toplamında 4ⁿ = (2²)ⁿ = 2²ⁿ olduğundan toplam 2²ⁿ + 2²ⁿ = 2·2²ⁿ = 2²ⁿ⁺¹ olur.
Ortak çarpan parantezine alma
Aynı tabanın farklı kuvvetleri toplanıyorsa en küçük kuvvet parantez dışına alınır. 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ ifadesinde en küçük kuvvet 2ⁿ'dir: 2ⁿ·(2³ + 2¹ − 1) = 9·2ⁿ. Parantez içine yalnızca küçük kuvvetler kaldığı için kolayca hesaplanır; 2ⁿ⁺³ = 2ⁿ·2³ yazımı bunun anahtarıdır.
Bu yöntem bilinmeyen içeren üslerde de işe yarar: 5ˣ⁺¹ − 5ˣ = 5ˣ·(5 − 1) = 4·5ˣ. Böylece bir toplam, tek bir üslü sayının katı biçimine gelir.
Kesirli ifadeler
Pay ve paydada üslü toplamlar varsa her birinde ortak çarpan alınır, sonra sadeleştirilir. (3¹⁰ + 3⁹)/(3⁹ − 3⁸) için pay 3⁹·(3 + 1) = 4·3⁹, payda 3⁸·(3 − 1) = 2·3⁸ olur. Bölüm (4·3⁹)/(2·3⁸) = 2·3 = 6'dır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (2²⁰ + 2¹⁹ + 2¹⁸)/(2¹⁹ − 2¹⁷) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Payda en küçük kuvvet 2¹⁸'dir: 2¹⁸·(2² + 2 + 1) = 7·2¹⁸. Paydada en küçük kuvvet 2¹⁷'dir: 2¹⁷·(2² − 1) = 3·2¹⁷. Bölüm (7·2¹⁸)/(3·2¹⁷) = 7·2/3 = 14/3'tür.
Örnek 2. 3ˣ⁺² − 3ˣ = 72 olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm. Sol tarafta 3ˣ'i ortak çarpan parantezine alırız: 3ˣ·(3² − 1) = 8·3ˣ. Denklem 8·3ˣ = 72 olur, buradan 3ˣ = 9 = 3² ve x = 2 bulunur. Kontrol: 3⁴ − 3² = 81 − 9 = 72.
Sık yapılan hatalar
- Toplamada üsleri toplamak: 2³ + 2² = 2⁵ gibi.
- Ortak çarpana alırken parantez içini yanlış hesaplamak: 2ⁿ⁺³ = 2ⁿ·2³'tür, 2ⁿ·3 değildir.
- Pay ve paydadaki toplamları ortak çarpana almadan terim terim sadeleştirmek.
- Aynı kuvvetler benzer terim gibi toplanır: 2⁵ + 2⁵ = 2⁶.
- Farklı kuvvetlerde en küçük kuvveti ortak çarpan yap.
- aⁿ⁺ᵏ = aⁿ·aᵏ yazımı parantez içini kolaylaştırır.