Konu anlatımı
Üs başlangıçta bir sayının kaç kez çarpıldığını anlatır; ama “−3 kez çarpmak” anlamsızdır. Sıfır ve negatif üsler, kuralların bozulmaması için yapılan tanımlardır. Bu alt başlıkta bu tanımların nereden geldiğini ve negatif üslü ifadelerle nasıl işlem yapılacağını göreceksin.
Sıfır üs neden 1'dir?
2'nin kuvvetlerini sırayla yaz: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Üs her 1 azaldığında değer 2'ye bölünüyor. Bu düzeni sürdürürsen 2⁰ = 2 ÷ 2 = 1, 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4 olur. Aynı sonucu bölme kuralı da verir: a ≠ 0 için a³/a³ = 1 ve kurala göre a³/a³ = a³⁻³ = a⁰'dır.
Bu yüzden sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir: 7⁰ = 1, (−5)⁰ = 1, (2/3)⁰ = 1. 0⁰ ise tanımsızdır. Parantezin yerine dikkat et: −5⁰ ifadesinde üs yalnızca 5'e aittir ve −5⁰ = −1'dir.
Negatif üs: ters alma
a ≠ 0 ve n pozitif tam sayı için a⁻ⁿ = 1/aⁿ'dir. Negatif üs sayıyı negatif yapmaz; sayının çarpmaya göre tersinin pozitif kuvvetini verir: 3⁻² = 1/9 ve (−2)⁻³ = 1/(−8) = −1/8. Kesirlerde negatif üs kesri ters çevirir: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ, örneğin (2/5)⁻² = (5/2)² = 25/4.
Paydadaki negatif üslü bir çarpan paya pozitif üsle geçer: 1/a⁻ⁿ = aⁿ, bu yüzden 1/2⁻³ = 2³ = 8'dir. Bu taşıma yalnızca çarpanlar için geçerlidir; bir toplamın terimleri tek tek taşınamaz.
Negatif üslü toplamlar
Negatif üslü terimler toplanırken önce her terim kesre çevrilir, sonra payda eşitlenir. (2⁻¹ + 4⁻¹)⁻¹ için 1/2 + 1/4 = 3/4 bulunur, sonra dıştaki −1 üssü kesri ters çevirir: 4/3. Dikkat: (a + b)⁻¹ ifadesi a⁻¹ + b⁻¹'e eşit değildir; (2 + 4)⁻¹ = 1/6 iken 2⁻¹ + 4⁻¹ = 3/4'tür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (1/3)⁻² + (−2)⁻² − 4⁰ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Her terimi ayrı hesaplarız. (1/3)⁻² = 3² = 9. (−2)⁻² = 1/(−2)² = 1/4; çift kuvvet olduğu için sonuç pozitiftir. 4⁰ = 1. Toplam 9 + 1/4 − 1 = 8 + 1/4 = 33/4'tür.
Örnek 2. (3⁻¹ − 6⁻¹)/(2⁻² + 4⁻¹) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Pay: 3⁻¹ − 6⁻¹ = 1/3 − 1/6 = 2/6 − 1/6 = 1/6. Payda: 2⁻² + 4⁻¹ = 1/4 + 1/4 = 1/2. Bölüm (1/6) ÷ (1/2) = (1/6)·2 = 1/3'tür.
Sık yapılan hatalar
- Negatif üssün sayıyı negatif yaptığını sanmak: 2⁻³ = −8 değil 1/8'dir.
- (a + b)⁻¹ ifadesini a⁻¹ + b⁻¹ diye açmak.
- −5⁰ ifadesini 1 sanmak; üs yalnızca 5'e ait olduğu için sonuç −1'dir.
- a ≠ 0 için a⁰ = 1; 0⁰ tanımsızdır.
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ ve (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ.
- Negatif üs işaret değil, ters alma bildirir.