Konu anlatımı
Küme sözcüğünü günlük hayatta topluluk anlamında kullanırsın. Matematikte ise bir topluluğun küme olabilmesi için hangi nesnenin ona ait olduğunun kesin olarak belli olması gerekir. Bu alt başlıkta kümenin tanımını, üç gösterim yöntemini ve boş, sonlu, sonsuz ve evrensel küme kavramlarını göreceksin.
Küme ve eleman
İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme, kümeyi oluşturan nesnelere eleman denir. “Haftanın günleri” bir kümedir; “haftanın en sıkıcı günleri” ise kişiye göre değiştiği için küme değildir. Kümeler genellikle büyük harflerle gösterilir. a nesnesi A kümesinin elemanıysa a ∈ A, değilse a ∉ A yazılır. A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
Kümeyi matematiğin temeline yerleştiren kişi, 19. yüzyılda yaşamış Alman matematikçi Georg Cantor'dur. Cantor sonsuz kümelerin de birbiriyle karşılaştırılabileceğini göstermiştir. Bugün sayı kümeleri, denklemlerin çözüm kümeleri ve olasılıktaki örnek uzay onun kurduğu dille yazılır.
Üç gösterim yöntemi
Liste yönteminde elemanlar süslü parantez içinde, aralarına virgül konarak yazılır: A = {2, 3, 5, 7}. Bir eleman yalnız bir kez yazılır ve sıranın önemi yoktur; {1, 2, 3} ile {3, 1, 2} aynı kümedir.
Ortak özellik yönteminde elemanların ortak özelliği yazılır: A = {x | x, 10'dan küçük bir asal sayıdır}. Dikey çizgi “öyle ki” diye okunur. Bu yöntem çok elemanlı ya da sonsuz kümeleri kısaca yazmanın yoludur. B = {x | x tam sayı ve −2 ≤ x < 3} kümesi liste yöntemiyle {−2, −1, 0, 1, 2} biçiminde yazılır; 3 kümeye girmez, çünkü eşitsizlik kesindir.
Venn şemasında küme kapalı bir eğriyle çizilir ve elemanlar eğrinin içinde birer noktayla gösterilir. Bu gösterim, birden çok kümenin ortak elemanlarını görmeyi kolaylaştırır.
Boş, sonlu, sonsuz ve evrensel küme
Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir; ∅ ya da { } ile gösterilir ve s(∅) = 0'dır. {0} ve {∅} kümeleri boş değildir; ikisinin de birer elemanı vardır. Elemanları sayılarak bitirilebilen kümeye sonlu, bitirilemeyen kümeye sonsuz küme denir: rakamlar kümesi sonludur, doğal sayılar kümesi sonsuzdur. Üzerinde çalışılan bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir, E ile gösterilir ve Venn şemasında dikdörtgenle çizilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A = {x | x tam sayı ve −3 < x ≤ 4} ve B = {x | x asal sayı ve x < 12} kümeleri veriliyor. s(A) + s(B) toplamı kaçtır?
Çözüm. A'nın elemanları −3'ten büyük, 4'e eşit ya da 4'ten küçük tam sayılardır: −2, −1, 0, 1, 2, 3 ve 4. Buna göre s(A) = 7'dir; −3'ün kümeye girmediğine, 4'ün girdiğine dikkat et. 12'den küçük asal sayılar 2, 3, 5, 7 ve 11'dir; s(B) = 5'tir. Toplam 7 + 5 = 12'dir.
Örnek 2. K = {1, {2}, ∅, {1, 2}} kümesi için şu ifadelerden hangileri doğrudur? I. 2 ∈ K II. {2} ∈ K III. ∅ ∈ K IV. s(K) = 4
Çözüm. K'nin elemanları 1, {2}, ∅ ve {1, 2} olmak üzere dört tanedir; IV doğrudur. {2} listede bir eleman olarak yazıldığı için II doğrudur. ∅ da listede eleman olarak yazıldığı için III doğrudur. 2 sayısı ise tek başına K'nin elemanı değildir; yalnızca {2} ve {1, 2} elemanlarının içinde geçer. Bu yüzden I yanlıştır ve doğru ifadeler II, III ve IV'tür.
Sık yapılan hatalar
- Listede tekrar eden elemanları ayrı ayrı saymak: {1, 1, 2} kümesinin eleman sayısı 3 değil, 2'dir.
- {0} ya da {∅} kümesini boş küme sanmak.
- Ortak özellik yönteminde < ile ≤ arasındaki farkı gözden kaçırıp sınır değeri yanlışlıkla eklemek ya da atlamak.
- Bir topluluğun küme olabilmesi için iyi tanımlanmış olması gerekir.
- Listede her eleman bir kez yazılır, sıra önemli değildir.
- ∅ = { } ve s(∅) = 0; {∅} ise bir elemanlı bir kümedir.