Konu anlatımı
Bir kümeden bir eleman, başka bir kümeden bir eleman seçip bunları belli bir sırayla yazdığında sıralı ikili elde edersin. Bütün bu ikililerin kümesine kartezyen çarpım denir. Bu alt başlıkta sıralı ikiliyi, kartezyen çarpımı ve eleman sayısıyla ilgili soruları göreceksin.
Sıralı ikili
a'nın birinci, b'nin ikinci bileşen olduğu ikiliye sıralı ikili denir ve (a, b) ile gösterilir. Sıra önemlidir: (2, 5) ile (5, 2) farklıdır. İki sıralı ikili ancak bileşenleri sırasıyla eşitse eşittir: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ve b = d. Örneğin (x + 1, 7) = (4, y − 2) ise x + 1 = 4 ve 7 = y − 2 olur; x = 3 ve y = 9 bulunur.
Kartezyen çarpım
A ve B kümeleri için A × B = {(a, b) | a ∈ A ve b ∈ B} kümesine A ile B'nin kartezyen çarpımı denir ve “A çarpı B” diye okunur. A = {1, 2} ve B = {x, y, z} için A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)} olur. Birinci bileşen için s(A), ikinci bileşen için s(B) seçenek olduğundan s(A × B) = s(A)·s(B) = 2·3 = 6'dır.
A × B ile B × A'nın eleman sayıları eşittir ama elemanları genellikle farklıdır; A ile B farklı ve boş olmayan kümelerse A × B ≠ B × A olur. Kümelerden biri boşsa kartezyen çarpım da boştur: A × ∅ = ∅. A × A kümesi A² ile de gösterilir ve s(A)² elemanlıdır.
Dağılma özelliği ve alt kümeler
Kartezyen çarpımın birleşim ve kesişim üzerine dağılma özelliği vardır: A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) ve A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C). Bu eşitlikler, karmaşık görünen bir kümenin eleman sayısını önce parantez içindeki kümeyi bulup sonra çarparak hesaplamanı sağlar.
A × B de bir küme olduğu için alt kümeleri vardır. s(A) = 2 ve s(B) = 3 ise A × B'nin 6 elemanı ve 2⁶ = 64 alt kümesi vardır. Lise programı kartezyen çarpımı sonlu kümelerle ele alır; aralıkların kartezyen çarpımına girilmez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. A, B ve C boş olmayan sonlu kümelerdir. s(A × B) = 6, s(B × C) = 15 ve s(A × C) = 10 olduğuna göre s(A) + s(B) + s(C) toplamı kaçtır?
Çözüm. Eleman sayılarına a, b ve c dersek ab = 6, bc = 15 ve ac = 10 olur. Üç eşitlik çarpılınca (abc)² = 900 ve abc = 30 bulunur. Buradan a = 30/15 = 2, b = 30/10 = 3 ve c = 30/6 = 5 elde edilir. Toplam 2 + 3 + 5 = 10'dur.
Örnek 2. (2a − 1, b + 3) = (a + 4, 2b − 1) olduğuna göre a + b kaçtır?
Çözüm. Sıralı ikililer eşitse bileşenleri sırasıyla eşittir. Birinci bileşenlerden 2a − 1 = a + 4 ve a = 5 bulunur. İkinci bileşenlerden b + 3 = 2b − 1 ve b = 4 bulunur. Toplam a + b = 9'dur; ikili (9, 7) olarak iki tarafta da aynıdır.
Örnek 3. s(A) = 2 ve s(B) = 3'tür. A × B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde belirli bir (a, b) elemanı bulunur?
Çözüm. A × B'nin 2·3 = 6 elemanı vardır. (a, b) elemanı her alt kümede bulunacağı için onun seçeneği yoktur; kalan 5 elemanın her biri alt kümeye girer ya da girmez. Alt küme sayısı 2⁵ = 32'dir.
Sık yapılan hatalar
- (a, b) ile (b, a)'yı aynı eleman sanmak.
- s(A × B) yerine s(A) + s(B) hesaplamak.
- A × B = B × A sanmak; yalnızca eleman sayıları eşittir.
- (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ve b = d.
- s(A × B) = s(A)·s(B) = s(B × A).
- s(A × B) = k ise A × B'nin 2ᵏ alt kümesi vardır.