Konu anlatımı
Seçilen nesneler arasında sıra ya da görev farkı yoksa sayılan şey bir kombinasyondur. Bu alt başlıkta C(n, r) formülünü, permütasyonla ilişkisini, kombinasyonun temel özelliklerini ve alt küme sayısıyla bağlantısını göreceksin.
Tanım ve formül
n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin her birine n'nin r'li kombinasyonu denir ve sayıları C(n, r) ile gösterilir. Her r'li seçim r! biçimde sıralanabildiği için P(n, r) = C(n, r)·r! olur; buradan C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!) bulunur. 7 kişiden 3 kişilik bir ekip C(7, 3) = 7·6·5/(3·2·1) = 35 biçimde seçilir. Bu sayı, aynı kişilerden başkan, yardımcı ve sekreter seçiminin (210) 3! = 6'da biridir.
Temel özellikler
C(n, a) = C(n, b) eşitliği a = b ya da a + b = n iken sağlanır; bu bilgi n'yi bulmayı gerektiren sorularda işe yarar. Son özellik ise Pascal üçgeninin kuruluş kuralıdır.
- C(n, 0) = C(n, n) = 1 ve C(n, 1) = n.
- C(n, r) = C(n, n − r): r eleman seçmek, dışarıda kalacak n − r elemanı seçmekle aynıdır; C(10, 8) = C(10, 2) = 45.
- C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2ⁿ: bu toplam, n elemanlı kümenin bütün alt kümelerinin sayısıdır.
- C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r): belirli bir eleman ya seçilir ya seçilmez.
Seçip sıralamak
Bazı sorularda önce seçim, sonra sıralama yapılır. 5 kız ve 4 erkekten 2 kız ve 2 erkek seçilip bu 4 kişi bir sıraya dizilecekse seçim C(5, 2)·C(4, 2) = 10·6 = 60, dizilim 4! = 24 biçimde yapılır; sonuç 60·24 = 1440 olur. Farklı gruplardan yapılan seçimlerde her grup ayrı seçilir ve sonuçlar çarpılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. C(n, 3) = C(n, 5) olduğuna göre C(n, 2) kaçtır?
Çözüm. 3 ≠ 5 olduğundan eşitlik ancak 3 + 5 = n iken sağlanır; n = 8'dir. C(8, 2) = 8·7/2 = 28 bulunur.
Örnek 2. Bir düzlemde herhangi üçü aynı doğru üzerinde olmayan 8 nokta vardır. Bu noktalardan ikisinden geçen kaç farklı doğru ve köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözüm. Her doğru 2 nokta seçilerek belirlenir ve seçimde sıra önemsizdir: C(8, 2) = 28 doğru. Herhangi üç nokta aynı doğru üzerinde olmadığı için her 3 nokta bir üçgen belirler: C(8, 3) = 56 üçgen.
Örnek 3. Birbirinden farklı 6 matematik ve 4 fizik kitabından 3 matematik ve 2 fizik kitabı kaç farklı biçimde seçilebilir?
Çözüm. Matematik kitapları C(6, 3) = 20, fizik kitapları C(4, 2) = 6 biçimde seçilir. İki seçim birlikte yapıldığı için çarpılır: 20·6 = 120.
Sık yapılan hatalar
- Görev farkı olmayan seçimlerde permütasyon kullanıp aynı ekibi birden çok kez saymak.
- C(n, r) hesabında r! ile bölmeyi unutmak.
- Farklı gruplardan birlikte yapılan seçimlerde kombinasyonları çarpmak yerine toplamak.
- C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!) = P(n, r)/r!.
- C(n, r) = C(n, n − r) ve bir satırdaki kombinasyonların toplamı 2ⁿ'dir.
- Gruplardan birlikte seçimde her grubun kombinasyonu çarpılır.