Konu anlatımı
Sıralama sorularının çoğunda bazı kişilerin yan yana olması ya da olmaması istenir. Bu alt başlıkta blok yöntemini, boşluk yöntemini, ardışık olmayan yerlerin seçimini ve iki kişi arasına belirli sayıda kişinin girdiği dizilişleri göreceksin.
Blok yöntemi
Yan yana gelmesi istenen nesneler tek bir blok gibi düşünülür. 6 kişiden Ali ile Ece yan yana olacaksa ikisi bir blok sayılır; blok ve kalan 4 kişi, yani 5 birim 5! biçimde dizilir. Ali ile Ece blok içinde 2! biçimde yer değiştirebilir. Sonuç 5!·2! = 240'tır. Yan yana olması istenen nesne sayısı k ise blok içindeki dizilişler için k! ile çarpılır.
Boşluk yöntemi
Yan yana gelmemesi istenen nesneler, öbür nesnelerin arasına ve iki uca yerleştirilir. 4 roman ve 3 sözlük bir rafa sözlükler yan yana gelmeyecek biçimde dizilecekse önce romanlar 4! = 24 biçimde dizilir. 4 roman arasında ve uçlarda 5 boşluk oluşur; 3 farklı sözlük bu boşluklardan farklı üçüne P(5, 3) = 60 biçimde yerleşir. Sonuç 24·60 = 1440'tır.
Yalnızca iki nesnenin yan yana gelmemesi isteniyorsa tümleyen daha hızlıdır: tüm dizilimlerden ikisinin yan yana olduğu dizilimler çıkarılır.
Ardışık olmayan yerler ve aradaki kişiler
Bir sıradaki n yerden ardışık olmayan k tanesi seçilecekse seçilmeyen n − k yerin arasındaki ve uçlarındaki n − k + 1 boşluktan k tanesi seçilir: C(n − k + 1, k). 8 park yerinden ardışık olmayan 3 tanesi C(6, 3) = 20 biçimde seçilir; farklı 3 araç bu yerlere 3! biçimde yerleşirse 120 park biçimi olur.
İki kişinin arasına tam olarak belirli sayıda kişi girmesi isteniyorsa önce ikisinin yer çiftleri sayılır. 6 kişilik bir sırada Arda ile Berk arasında tam 2 kişi olacaksa yer çiftleri (1, 4), (2, 5) ve (3, 6) olur. Her çift 2 sırayla yazılır ve kalan 4 kişi 4! biçimde dizilir: 3·2·24 = 144.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Birbirinden farklı 3 matematik ve 2 fizik kitabı bir rafa diziliyor. Matematik kitaplarının üçü de yan yana olacaksa kaç dizilim vardır?
Çözüm. Üç matematik kitabı bir blok sayılır. Blok ve 2 fizik kitabı, yani 3 birim 3! = 6 biçimde dizilir. Matematik kitapları blok içinde 3! = 6 biçimde yer değiştirir. Sonuç 6·6 = 36'dır.
Örnek 2. 5 erkek ve 3 kız öğrenci bir sıraya, kızlardan hiçbir ikisi yan yana gelmeyecek biçimde kaç farklı biçimde dizilebilir?
Çözüm. Önce erkekler 5! = 120 biçimde dizilir. 5 erkeğin arasında ve uçlarda 6 boşluk oluşur. 3 kız bu boşluklardan farklı üçüne P(6, 3) = 6·5·4 = 120 biçimde yerleşir. Sonuç 120·120 = 14 400'dür. Kızlar farklı kişiler olduğu için boşlukları seçmekle yetinilmez, sıralama da yapılır.
Örnek 3. Yan yana dizilmiş 7 sandalyeye 3 kişi, herhangi ikisinin arasında en az bir boş sandalye kalacak biçimde kaç farklı biçimde oturabilir?
Çözüm. Kimse yan yana oturmayacağı için 7 sandalyeden ardışık olmayan 3 tanesi seçilir. Boş kalacak 4 sandalyenin arasında ve uçlarında 5 boşluk vardır; 3 kişinin sandalyeleri bu boşluklardan seçilir: C(5, 3) = 10. Farklı 3 kişi seçilen sandalyelere 3! = 6 biçimde oturur. Sonuç 10·6 = 60'tır.
Sık yapılan hatalar
- Blok yönteminde blok içindeki yer değiştirmeleri saymamak.
- Boşluk sayısını yanlış bulmak: k nesne arasında ve uçlarda k + 1 boşluk vardır.
- Boşluklara farklı nesneler yerleştirirken sırayı göz ardı edip yalnızca boşlukları seçmek.
- Yan yana olsun: bloğu tek birim say, blok içini ayrıca diz.
- Yan yana olmasın: öbürlerini diz, aralara ve uçlara yerleştir.
- n yerden ardışık olmayan k yer C(n − k + 1, k) biçimde seçilir.