Konu anlatımı
Seçim sorularının çoğunda bir koşul vardır: belirli bir kişi mutlaka seçilecek, iki kişi birlikte olmayacak ya da bir gruptan en az bir kişi bulunacaktır. Bu alt başlıkta bu koşulları saymanın yollarını ve görevli kurul seçimini göreceksin.
Belirli kişiler
Belirli bir kişi kesin seçilecekse o kişi ayrılır ve kalanlardan eksik kalan sayıda kişi seçilir: 10 kişiden Ali'nin bulunduğu 4 kişilik ekipler C(9, 3) = 84 tanedir. Belirli bir kişi hiç seçilmeyecekse o kişi baştan çıkarılır: C(9, 4) = 126. İki sayının toplamı C(10, 4) = 210 eder, çünkü her ekipte Ali ya vardır ya yoktur.
İki kişi birlikte bulunmayacaksa tümleyen kullanılır: tüm ekiplerden ikisinin birlikte bulunduğu ekipler çıkarılır. 10 kişiden Ali ile Veli'nin birlikte olmadığı 4 kişilik ekipler C(10, 4) − C(8, 2) = 210 − 28 = 182 tanedir.
En az ve en çok koşulları
“En az bir kız” gibi koşullarda tümleyen en kısa yoldur: en az bir kız içeren seçimler, tüm seçimlerden hiç kız içermeyen seçimler çıkarılarak bulunur. “En az iki” koşulunda tümleyen, hiç kız olmayan ve tam bir kız olan iki durumu içerir; ya bu iki durum tümden çıkarılır ya da istenen durumlar tek tek sayılıp toplanır.
“Hem kız hem erkek bulunsun” koşulunda yalnız kızlardan ve yalnız erkeklerden oluşan seçimlerin ikisi de çıkarılır. “En çok” koşullarında ise izin verilen her durum ayrı sayılıp toplanır.
Görevli kurullar
Kurulda başkan, yardımcı gibi farklı görevler ve görevsiz üyeler varsa görevler için permütasyon, görevsiz üyeler için kombinasyon kullanılır. 7 kişiden bir başkan, bir başkan yardımcısı ve 2 üye seçimi 7·6·C(5, 2) = 420 biçimde yapılır. Aynı sayı önce 4 kişi seçilip, C(7, 4) = 35, sonra bu 4 kişiden başkan ve yardımcı belirlenerek, 4·3 = 12, de bulunur: 35·12 = 420.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 5 kız ve 4 erkek öğrenci arasından en az 2 kız bulunan 4 kişilik kaç farklı grup seçilebilir?
Çözüm. Tüm gruplar C(9, 4) = 126'dır. İstenmeyen durumlar hiç kız olmayan ve tam bir kız olan gruplardır. Hiç kız yoksa 4 erkek seçilir: C(4, 4) = 1. Tam bir kız varsa C(5, 1)·C(4, 3) = 5·4 = 20 grup vardır. İstenen sayı 126 − 1 − 20 = 105'tir.
Örnek 2. Aralarında Can ile Deniz'in de bulunduğu 8 kişiden 3 kişilik bir ekip seçilecektir. Can ekipte yer alırsa Deniz de yer alacaktır. Kaç farklı ekip seçilebilir?
Çözüm. Koşulu bozan tek durum, Can'ın ekipte olup Deniz'in olmamasıdır. Bu ekiplerde Can sabittir, Deniz dışarıdadır ve kalan 6 kişiden 2 kişi seçilir: C(6, 2) = 15. Tüm ekipler C(8, 3) = 56 olduğundan istenen sayı 56 − 15 = 41'dir.
Örnek 3. Aralarında Ayşe'nin de bulunduğu 8 kişiden bir başkan ve 2 üyeden oluşan bir kurul seçilecektir. Ayşe başkan olamaz ama üye olabilir. Kaç farklı kurul seçilebilir?
Çözüm. Koşulsuz seçimde başkan 8 biçimde, 2 üye kalan 7 kişiden C(7, 2) = 21 biçimde seçilir: 168 kurul. Ayşe'nin başkan olduğu kurullar 1·C(7, 2) = 21 tanedir. İstenen sayı 168 − 21 = 147'dir. Doğrudan da sayılabilir: başkan Ayşe dışındaki 7 kişiden biri, üyeler kalan 7 kişiden ikisidir: 7·21 = 147.
Sık yapılan hatalar
- “En az bir” koşulunda önce bir kişiyi seçip kalanları serbest seçmek; bu yol aynı grubu birden çok kez sayar.
- Tümleyenden sayarken istenmeyen durumların hepsini çıkarmamak.
- Görevli kurulda görevleri kombinasyonla saymak.
- Kesin seçilecek kişiyi ayır, seçilmeyecek kişiyi çıkar.
- En az bir = tüm seçimler − hiç olmayan seçimler.
- Görevler permütasyonla, görevsiz üyeler kombinasyonla sayılır.