Konu anlatımı
Pascal üçgeni, kombinasyon sayılarının düzenli bir tablosudur ve iki terimli bir ifadenin kuvvetlerini açmanın kısa yolunu verir. Bu alt başlıkta üçgenin kuruluşunu, binom açılımını, açılımdaki terimleri ve katsayılar toplamını göreceksin. Bu üçgen, Pascal'dan yüzyıllar önce Ömer Hayyam'ın da aralarında bulunduğu Hint, Çin ve İslam dünyası matematikçileri tarafından incelenmiştir.
Pascal üçgeni
Üçgenin en üstünde 1 yazılır; her satır 1 ile başlayıp 1 ile biter ve aradaki her sayı, üstündeki iki sayının toplamıdır. İlk satırlar 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1; 1 4 6 4 1 biçimindedir. En üstteki satır 0. satır sayılırsa n. satır C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n) sayılarından oluşur.
Kuruluş kuralı C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r) eşitliğinin karşılığıdır. Üçgen simetriktir, çünkü C(n, r) = C(n, n − r) olur; n. satırdaki sayıların toplamı 2ⁿ'dir.
Binom açılımı
(a + b)ⁿ ifadesi açıldığında n + 1 terim elde edilir ve katsayılar Pascal üçgeninin n. satırıdır: (a + b)ⁿ = C(n, 0)aⁿ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b + ... + C(n, n)bⁿ. Her terimde a'nın kuvveti n'den 0'a azalırken b'nin kuvveti 0'dan n'ye artar ve iki kuvvetin toplamı hep n olur. Örneğin (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.
Baştan (r + 1). terim C(n, r) katsayısını taşır; bu terimde a'nın kuvveti n − r, b'nin kuvveti r olur. (a − b)ⁿ açılımında b yerine −b yazılır ve terimlerin işaretleri sırayla değişir.
Katsayılar toplamı ve belirli terim
Açılımdaki katsayıların toplamı, değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur: (2x − 1)⁵ açılımının katsayılar toplamı (2 − 1)⁵ = 1'dir. Belirli bir terim için o terimi veren seçim yazılır: (x + 2)⁵ açılımında x³'lü terim, 5 çarpandan üçünden x, ikisinden 2 alınarak oluşur ve C(5, 2)·x³·2² = 40x³ olur.
Program yalnızca iki terimli ifadelerin açılımını ister ve katsayıları irrasyonel olan (ax + by)ⁿ açılımlarına girmez; sorular rasyonel katsayılı iki terimlilerle kurulur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (x − 2)⁴ ifadesini açınız.
Çözüm. Katsayılar Pascal üçgeninin 4. satırıdır: 1, 4, 6, 4, 1. b yerine −2 yazarız: x⁴ + 4x³·(−2) + 6x²·4 + 4x·(−8) + 16. Sonuç x⁴ − 8x³ + 24x² − 32x + 16'dır. Kontrol: x = 1 için iki taraf da (1 − 2)⁴ = 1 verir; 1 − 8 + 24 − 32 + 16 = 1.
Örnek 2. (2x + 1)⁶ açılımında x²'li terimin katsayısı kaçtır?
Çözüm. x²'li terim, 6 çarpanın ikisinden 2x, kalan dördünden 1 seçilerek oluşur. Bu seçim C(6, 2) = 15 biçimde yapılır ve her seçim (2x)²·1⁴ = 4x² verir. Katsayı 15·4 = 60'tır. 2'nin karesini almayı unutmak 15 sonucuna götürür.
Örnek 3. (3x − 1)⁴ açılımının katsayılar toplamı ve sabit terimi kaçtır?
Çözüm. Katsayılar toplamı x = 1 yazılarak bulunur: (3 − 1)⁴ = 16. Sabit terim x = 0 yazılarak bulunur: (−1)⁴ = 1. Açılımın tamamını yazmaya gerek kalmaz.
Sık yapılan hatalar
- Pascal üçgeninde satırları 1'den saymaya başlayıp katsayıları bir satır kaydırmak.
- Açılımda terimlerin kendi katsayılarının kuvvetlerini unutmak: (2x + 1)⁶ açılımında 2'nin kuvvetini almamak.
- (a − b)ⁿ açılımında işaretleri sırayla değiştirmemek.
- Pascal üçgeninde her sayı üstündeki iki sayının toplamıdır.
- (a + b)ⁿ açılımında n + 1 terim vardır ve katsayılar C(n, r) sayılarıdır.
- Katsayılar toplamı için değişkenlerin yerine 1 yaz.