Konu anlatımı
Bütün sayma tekniklerinin temelinde iki basit ilke vardır: toplama ve çarpma yöntemi. Bu alt başlıkta hangi durumda toplanacağını, hangi durumda çarpılacağını, faktöriyel kavramını ve rakamlarla sayı oluşturma sorularını göreceksin.
Toplama yöntemi
Bir iş, ortak elemanı olmayan durumlardan biriyle yapılabiliyorsa toplam seçenek sayısı durumların seçenek sayılarının toplamıdır. Bir kantinde 5 çeşit sandviç ve 3 çeşit poğaça varsa yalnızca bir yiyecek seçen biri 5 + 3 = 8 farklı seçim yapabilir. Durumlar arasında ortak eleman varsa ortak olanlar bir kez sayılmalıdır; bu, kümelerdeki s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B) bağıntısının sayma dilindeki karşılığıdır.
Çarpma yöntemi
Bir iş art arda yapılan üç adımdan oluşuyorsa ve adımlar sırasıyla a, b ve c biçimde yapılabiliyorsa iş a·b·c biçimde yapılır; adım sayısı arttıkça çarpan sayısı da artar. 5 çeşit sandviç ve 3 çeşit içecekten bir sandviç ve bir içecek seçen biri 5·3 = 15 farklı seçim yapar.
Şifre ve sayı soruları bu yöntemle çözülür. Rakamları tekrar edebilen 4 haneli bir şifre 10·10·10·10 = 10 000 biçimde, rakamları birbirinden farklı 4 haneli bir şifre 10·9·8·7 = 5040 biçimde oluşturulur.
Faktöriyel
1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir: 5! = 120. 0! = 1 kabul edilir. n farklı nesne bir sıraya n! biçimde dizilir, çünkü ilk yere n, ikinci yere n − 1, son yere 1 nesne konabilir. Faktöriyel içeren kesirler sadeleştirilirken büyük faktöriyel küçüğüne kadar açılır: 8!/6! = 8·7 = 56.
Sayı oluşturma
Rakamlarla sayı yazarken kısıtlı basamaklar önce doldurulur. Sayının ilk basamağı 0 olamaz; çift sayılarda son basamak çift, 5'in katlarında son basamak 0 ya da 5 olmalıdır. Son basamak koşulu 0'ı da içeriyorsa durumlar ayrılır: son basamağı 0 olan ve olmayan sayılar ayrı sayılıp toplanır, çünkü 0'ın son basamakta kullanılması ilk basamağın seçenek sayısını değiştirir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 rakamlarıyla rakamları birbirinden farklı ve 400'den büyük kaç tane üç basamaklı sayı yazılabilir?
Çözüm. Sayının 400'den büyük olması için yüzler basamağı 4, 5 ya da 6 olmalıdır: 3 seçenek. Onlar basamağına kalan 5 rakamdan biri, birler basamağına kalan 4 rakamdan biri yazılır. Çarpma yöntemiyle 3·5·4 = 60 sayı bulunur.
Örnek 2. 0, 1, 2, 3, 4 ve 5 rakamları kullanılarak rakamları birbirinden farklı üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?
Çözüm. Önce kısıtlı basamakları doldururuz. Birler basamağı 1, 3 ya da 5 olabilir: 3 seçenek. Yüzler basamağı 0 olamaz ve birler basamağındaki rakam olamaz: 4 seçenek. Onlar basamağına kalan 4 rakamdan biri yazılır. Sayı adedi 3·4·4 = 48'dir. Burada son basamakta 0 olmadığı için durum ayırmaya gerek kalmaz.
Örnek 3. Bir lokantada 3 çeşit çorba, 4 çeşit ana yemek ve 2 çeşit tatlı vardır. Bir müşteri ya çorba, ana yemek ve tatlıdan oluşan bir menü ya da yalnızca bir çorba ile bir tatlı alacaktır. Müşteri kaç farklı seçim yapabilir?
Çözüm. İki seçenek birbirini dışlar; bu yüzden ayrı ayrı sayılıp toplanır. Üçlü menü art arda üç seçimdir: 3·4·2 = 24. Çorba ve tatlı seçimi 3·2 = 6 biçimde yapılır. Toplam 24 + 6 = 30 farklı seçim vardır.
Sık yapılan hatalar
- Art arda yapılan adımların seçenek sayılarını toplamak.
- İlk basamağa 0 yazılabileceğini sanmak.
- Son basamakta 0 da olabiliyorken durumları ayırmadan tek bir çarpımla saymak.
- Birbirini dışlayan durumlar toplanır, art arda adımlar çarpılır.
- n farklı nesne n! biçimde sıralanır ve 0! = 1'dir.
- Kısıtlı basamağı önce doldur; 0 sorun çıkarıyorsa durumları ayır.