Konu anlatımı
Bir sayının kaç basamaklı olduğu, sayının hangi iki 10 kuvveti arasında kaldığıyla belirlenir. Bu alt başlıkta belirli basamak sayısına sahip kaç sayı olduğunu saymayı ve üslü biçimde verilen büyük sayıların basamak sayısını hesap makinesi kullanmadan bulmayı öğreneceksin.
n basamaklı sayılar
n basamaklı en küçük pozitif tam sayı 10ⁿ⁻¹, en büyüğü 10ⁿ − 1'dir. Örneğin dört basamaklı sayılar 1000 ile 9999 arasındadır. Terim sayısı formülüyle n basamaklı sayıların adedi (10ⁿ − 1) − 10ⁿ⁻¹ + 1 = 9·10ⁿ⁻¹ bulunur: 9 tane bir basamaklı pozitif tam sayı, 90 tane iki basamaklı, 900 tane üç basamaklı sayı vardır. 0'ı da sayarsan bir basamaklı doğal sayılar 10 tanedir.
Bir sayı n basamaklıysa 10ⁿ⁻¹ ≤ sayı ≤ 10ⁿ − 1 olur. Bu eşitsizlik, üslü sayıların basamak sayısını bulmanın da temelidir.
Koşullu sayma
Belirli bir koşulu sağlayan n basamaklı sayıları saymak için her basamağın kaç farklı rakam alabileceğini bulup çarparsın. Örneğin üç basamaklı çift sayılarda yüzler basamağı 9 (1–9), onlar basamağı 10, birler basamağı 5 (0, 2, 4, 6, 8) farklı değer alabilir; 9·10·5 = 450 tane üç basamaklı çift sayı vardır.
Rakamları farklı olma koşulu varsa her basamakta seçenek sayısı azalır ve önce en kısıtlı basamağa karar verirsin. Rakamları farklı üç basamaklı sayılar 9·9·8 = 648 tanedir: yüzler basamağı için 9, onlar için kalan 9, birler için kalan 8 rakam vardır.
Üslü sayıların basamak sayısı
2 ile 5'in kuvvetlerinin çarpımında her 2·5 çifti bir 10 oluşturur. Bu yüzden 2ᵃ·5ᵇ sayısını küçük üs kadar 10 çarpanı ve bir kalan çarpan olarak yazarsın. Sayının basamak sayısı, kalan çarpanın basamak sayısı ile 10'un üssünün toplamıdır.
Örneğin 2¹⁰·5⁷ = 2³·(2·5)⁷ = 8·10⁷ sayısı 8'in ardına 7 sıfır gelen sayıdır ve 8 basamaklıdır. 4⁵·5⁸ ifadesinde önce tabanı asal yaparsın: 4⁵ = 2¹⁰ olduğundan 2¹⁰·5⁸ = 2²·10⁸ = 4·10⁸ ve sayı 9 basamaklıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 8⁴·25³ sayısı kaç basamaklıdır ve rakamları toplamı kaçtır?
Çözüm. Tabanları asal yaparız: 8⁴ = (2³)⁴ = 2¹² ve 25³ = (5²)³ = 5⁶. Çarpım 2¹²·5⁶ = 2⁶·(2·5)⁶ = 64·10⁶ olur. Bu sayı 64'ün ardına 6 sıfır gelen 64 000 000 sayısıdır; 2 + 6 = 8 basamaklıdır ve rakamları toplamı 6 + 4 = 10'dur.
Örnek 2. Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı tek sayılar kaç tanedir?
Çözüm. En kısıtlı basamaktan başlarız. Birler basamağı tek olmalıdır: 1, 3, 5, 7, 9 olmak üzere 5 seçenek. Yüzler basamağı 0 olamaz ve birler basamağındaki rakam da kullanılamaz: 10 − 2 = 8 seçenek. Onlar basamağı için kalan rakamlar 10 − 2 = 8 tanedir, çünkü 0 artık kullanılabilir ama iki rakam kullanılmıştır. Toplam 5·8·8 = 320 sayı vardır.
Sık yapılan hatalar
- n basamaklı sayıların adedini 10ⁿ sanmak; doğrusu 9·10ⁿ⁻¹'dir.
- Koşullu saymada önce kısıtlı basamağı yerleştirmeyi unutup yüzler basamağına 0'ı da saymak.
- 2ᵃ·5ᵇ sayısında kalan çarpanın basamak sayısını eklemeyi unutmak: 64·10⁶ sayısı 7 değil 8 basamaklıdır.
- n basamaklı pozitif tam sayıların sayısı 9·10ⁿ⁻¹'dir.
- 2ᵃ·5ᵇ sayısında küçük üs kadar 10 çarpanı oluşur.
- Koşullu saymada önce en kısıtlı basamağa karar ver, sonra seçenek sayılarını çarp.