Konu anlatımı
Çözümleme, harflerle verilen bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı olarak yazmaktır. Sayı basamakları sorularının neredeyse hepsi bu adımla başlar: sayı açılır, verilen ilişki denkleme dönüşür ve rakam kısıtlarıyla çözülür. Bu alt başlıkta çözümleme kalıplarını ve denklemden rakamlara ulaşmanın yolunu göreceksin.
Çözümleme kalıpları
Kalıplar basamak değerinden gelir: abc sayısında a yüzler basamağında olduğu için 100a değerini taşır. Tekrarlanan rakamlar ortak çarpana alınarak kısalır: aaa = 100a + 10a + a = 111a. abab sayısı ise 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b = 101·(10a + b) biçimindedir; yani abab = 101·ab olur.
- ab = 10a + b
- abc = 100a + 10b + c
- abcd = 1000a + 100b + 10c + d
- aaa = 111a ve abab = 101·ab
- a0b = 100a + b (sıfırlı basamak atlanmaz, yalnızca değeri 0'dır)
Çözümleme ile denklem kurma
Soruda verilen ilişkiyi çözümlenmiş biçimle yazarsın. Örneğin “ab sayısı rakamları toplamının 4 katıdır” cümlesi 10a + b = 4(a + b) denklemine, buradan 6a = 3b ve b = 2a ilişkisine dönüşür. b en çok 9 olduğu için a en çok 4'tür; bu ilişkiyi sağlayan sayılar 12, 24, 36 ve 48'dir.
Denklemi sadeleştirdikten sonra harfleri sırayla dene: en soldaki rakam 1'den, öbürleri 0'dan başlar ve hiçbiri 9'u aşamaz. Çoğu zaman bu kısıtlar çözüm sayısını birkaç seçeneğe indirir; bazen de tek bir sayı bırakır.
Bir sayıdan rakamları toplamını çıkarmak
abc − (a + b + c) = 100a + 10b + c − a − b − c = 99a + 9b olur ve bu ifade her zaman 9'un katıdır. Yani herhangi bir sayıdan rakamları toplamını çıkardığında 9'un katı elde edersin. 9 ile bölünebilme kuralının nedeni de budur: sayı ile rakamları toplamı 9'a bölündüğünde aynı kalanı verir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Üç basamaklı 4ab sayısı, iki basamaklı ab sayısının 9 katıdır. ab kaçtır?
Çözüm. 4ab sayısında 4 yüzler basamağındadır, bu yüzden 4ab = 400 + ab yazılabilir. Koşul 400 + ab = 9·ab biçimindedir. Buradan 8·ab = 400 ve ab = 50 bulunur. Kontrol: 450 = 9·50.
Örnek 2. abc üç basamaklı, ab iki basamaklı sayılardır. abc + ab = 297 olduğuna göre abc kaçtır?
Çözüm. Çözümleme yaparız: (100a + 10b + c) + (10a + b) = 110a + 11b + c = 297. a = 1 olsaydı 11b + c = 187 olurdu; oysa b ve c en çok 9 olduğundan 11b + c en çok 99 + 9 = 108'dir. a = 3 olsaydı 110a = 330 tek başına 297'yi aşardı. O hâlde a = 2 ve 11b + c = 77'dir. c bir rakam olduğu için b = 7, c = 0 tek çözümdür. abc = 270; kontrol: 270 + 27 = 297.
Sık yapılan hatalar
- abc'yi a·b·c çarpımı ya da a + b + c toplamı sanmak.
- Denklemden çıkan rakam değerlerinin 0–9 aralığında olup olmadığını kontrol etmemek.
- Çözümlemede sıfırlı bir basamağı atlamak: a0b sayısını 10a + b diye yazmak; doğrusu 100a + b'dir.
- ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c.
- aaa = 111a ve abab = 101·ab.
- Bir sayıdan rakamları toplamı çıkarılırsa sonuç 9'un katıdır.