Konu anlatımı
Polinom bölmesi, sayılarda yaptığın uzun bölmenin cebirdeki karşılığıdır. Bu alt başlıkta bölme işleminin adımlarını, bölme eşitliğini, kalanın derecesiyle ilgili kuralı ve bölme eşitliğinden bölüm ya da kalan hakkında bilgi çıkarmayı göreceksin.
Bölme eşitliği
P(x) polinomu sıfırdan farklı B(x) polinomuna bölündüğünde Q(x) bölümü ve K(x) kalanı için P(x) = B(x)·Q(x) + K(x) eşitliği sağlanır. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçüktür; kalan sıfır polinomu da olabilir. Kalan sıfırsa P(x), B(x) ile tam bölünür. Bölümün derecesi, bölünenin derecesinden bölenin derecesi çıkarılarak bulunur.
Bölme adımları
P(x) = 2x³ − 3x² + 4x − 5 polinomunu x − 2 ile bölelim. Bölünenin ilk terimi 2x³, bölenin ilk terimi x'e bölünür: 2x². Bu terim bölenle çarpılır ve 2x³ − 4x² bölünenden çıkarılır; geriye x² + 4x − 5 kalır. İşlem tekrarlanır: x²'nin x'e bölümü x'tir, x(x − 2) = x² − 2x çıkarılınca 6x − 5 kalır. Son olarak 6x'in x'e bölümü 6'dır, 6(x − 2) = 6x − 12 çıkarılınca 7 kalır. Bölüm Q(x) = 2x² + x + 6, kalan 7'dir.
Bölünende eksik dereceli terim varsa o terim 0 katsayısıyla yazılır; böylece işlemde basamaklar kaymaz. x³ − 1 polinomu bölünürken x³ + 0x² + 0x − 1 olarak düşünülür.
Bölme eşitliğinden bilgi çıkarmak
Bölme eşitliğinde x yerine uygun sayılar yazmak, bölmeyi yapmadan bilgi verir. Bu alt başlıktaki örnekte P(x) = (x − 2)·Q(x) + 7'dir. x = 1 yazılırsa P(1) = −Q(1) + 7 olur. P(1) = 2 − 3 + 4 − 5 = −2 olduğundan Q(1) = 9 bulunur; yani bölümün katsayılar toplamı 9'dur. Gerçekten 2 + 1 + 6 = 9'dur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x³ + 2x² − 5x + 1 polinomunun x² − x + 1 ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalan nedir?
Çözüm. İlk terimler bölünür: x³'ün x²'ye bölümü x'tir. x(x² − x + 1) = x³ − x² + x çıkarılınca 3x² − 6x + 1 kalır. 3x²'nin x²'ye bölümü 3'tür; 3(x² − x + 1) = 3x² − 3x + 3 çıkarılınca −3x − 2 kalır. Kalanın derecesi bölenden küçük olduğu için işlem biter. Bölüm x + 3, kalan −3x − 2'dir.
Örnek 2. P(x) = x⁴ + 2x³ − x + 3 polinomu x + 1 ile bölündüğünde elde edilen bölüm Q(x) olduğuna göre Q(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
Çözüm. Kalan P(−1) = 1 − 2 + 1 + 3 = 3'tür ve bölme eşitliği P(x) = (x + 1)·Q(x) + 3 olur. Katsayılar toplamı Q(1) için x = 1 yazarız: P(1) = 2·Q(1) + 3. P(1) = 1 + 2 − 1 + 3 = 5 olduğundan 2·Q(1) = 2 ve Q(1) = 1 bulunur. Bölme yapılırsa Q(x) = x³ + x² − x çıkar ve katsayılar toplamı gerçekten 1'dir.
Sık yapılan hatalar
- Bölünende eksik dereceli terimlere 0 katsayılı yer ayırmamak.
- Çıkarma adımında çıkarılan ifadenin bütün terimlerinin işaretini değiştirmemek.
- Kalanın derecesi bölenin derecesine eşitken bölmeyi bitmiş saymak.
- P(x) = B(x)·Q(x) + K(x) ve kalanın derecesi bölenin derecesinden küçüktür.
- Bölümün derecesi = bölünenin derecesi − bölenin derecesi.
- Bölme eşitliğinde x yerine sayı yazmak, bölmeyi yapmadan bilgi verir.