Konu anlatımı
Bir polinomun kuralı verilmeden yalnızca bazı değerleri verilebilir. Bu alt başlıkta derecesi bilinen bir polinomu bu değerlerden belirlemeyi, ardışık değer farklarını kullanmayı ve birden çok noktada aynı değeri alan polinomlar için kısa yolu göreceksin.
Değer tablosundan polinom
Derecesi n olan bir polinom, n + 1 farklı noktadaki değerleriyle tek biçimde belirlenir. İkinci dereceden P(x) için P(0) = 3, P(1) = 2 ve P(2) = 5 verilmişse P(x) = ax² + bx + c yazılır. P(0) = c = 3'tür. P(1) = a + b + 3 = 2 ve P(2) = 4a + 2b + 3 = 5 eşitliklerinden a + b = −1 ve 2a + b = 1, buradan a = 2 ve b = −3 bulunur: P(x) = 2x² − 3x + 3.
Ardışık değer farkları
P(x + 1) − P(x) gibi bir fark verilmişse polinom katsayılarla yazılıp fark hesaplanır. İkinci dereceden P(x) = ax² + bx + c için P(x + 1) − P(x) = 2ax + a + b olur; fark birinci dereceden bir polinomdur. P(x + 1) − P(x) = 6x + 1 ve P(0) = 5 ise 2a = 6 ve a + b = 1 eşitliklerinden a = 3, b = −2 bulunur ve P(x) = 3x² − 2x + 5 olur.
Değerler zincirleme de bulunabilir: x = 0 yazılınca P(1) = P(0) + 1 = 6, x = 1 yazılınca P(2) = P(1) + 7 = 13 elde edilir. Az sayıda değer isteniyorsa bu yol daha hızlıdır.
Ortak ve doğrusal değerler
Baş katsayısı ve derecesi bilinen bir polinom birkaç noktada aynı k değerini alıyorsa P(x) − k polinomu bu noktalarda sıfırdır. Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden P(x) için P(−1) = P(0) = P(2) = 4 ise P(x) − 4 = x(x + 1)(x − 2) ve P(x) = x(x + 1)(x − 2) + 4 olur.
Değerler aynı değil de bir doğrusal kurala uyuyorsa benzer fikir kullanılır. P(0) = 1, P(1) = 4 ve P(2) = 7 değerleri 3x + 1 kuralına uyar; P(x) − (3x + 1) polinomu 0, 1 ve 2'de sıfır olur. Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir polinom için P(x) = x(x − 1)(x − 2) + 3x + 1 bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. İkinci dereceden P(x) polinomu için her x'te P(x + 1) − P(x) = 4x + 5 ve P(1) = 2 olduğuna göre P(3) kaçtır?
Çözüm. Zincirleme ilerleriz. x = 1 için P(2) − P(1) = 9, yani P(2) = 11 olur. x = 2 için P(3) − P(2) = 13, yani P(3) = 24 bulunur. Kural da bulunabilir: 2a = 4 ve a + b = 5 eşitliklerinden a = 2, b = 3 olur; P(1) = 2 koşulu c = −3 verir ve P(x) = 2x² + 3x − 3 için P(3) = 18 + 9 − 3 = 24'tür.
Örnek 2. Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden P(x) polinomu için P(−1) = P(0) = P(2) = 4 olduğuna göre P(3) kaçtır?
Çözüm. P(x) − 4 polinomu −1, 0 ve 2'de sıfırdır ve baş katsayısı 1'dir; P(x) − 4 = x(x + 1)(x − 2) yazılır. P(3) = 3·4·1 + 4 = 16 bulunur. Çarpanları yazarken kökün işaretine dikkat et: −1 kökü x + 1 çarpanını verir.
Sık yapılan hatalar
- Derecesi n olan polinomu n noktadan belirlemeye çalışmak; n + 1 değer gerekir.
- P(x) − k yazdıktan sonra P(x)'i bulurken k sabitini geri eklemeyi unutmak.
- Ardışık farktaki 2ax + a + b ifadesinde a + b sabitini yalnızca a ya da yalnızca b sanmak.
- n. dereceden bir polinom n + 1 değerle belirlenir.
- İkinci dereceden P için P(x + 1) − P(x) = 2ax + a + b.
- P(a) = P(b) = P(c) = k ise P(x) = (baş katsayı)·(x − a)(x − b)(x − c) + k.