Konu anlatımı
İki polinom her x değeri için aynı sonucu veriyorsa eşittir. Bu alt başlıkta polinom eşitliğinin katsayılar cinsinden ne anlama geldiğini, bilinmeyen katsayıları bulmayı ve polinomun kendisini bir özdeşlikten belirlemeyi göreceksin.
Eşitlik ve katsayılar
Aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olan iki polinom eşittir. ax² + bx + c = 2x² − 5x + 1 eşitliği her x için doğruysa a = 2, b = −5 ve c = 1'dir. Eksik terimlerin katsayısının 0 olduğunu unutma: x³ + ax² + 4 = x³ + bx + c ise a = 0, b = 0 ve c = 4 olur.
Her x için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir. Özdeşlikte x yerine istenen her sayı yazılabilir; bu, katsayıları karşılaştırmanın bir başka yoludur ve çoğu zaman daha kısadır.
İki yoldan katsayı bulmak
(x − 2)(ax + b) = 3x² − 4x − 4 özdeşliğinde sol taraf açılırsa ax² + (b − 2a)x − 2b elde edilir. Katsayılar karşılaştırılınca a = 3 ve −2b = −4, yani b = 2 bulunur; orta terim b − 2a = 2 − 6 = −4 olarak da tutar. İkinci yol x yerine uygun sayılar yazmaktır: x = 0 için −2b = −4 ve b = 2; x = 1 için −(a + 2) = −5 ve a = 3 bulunur.
Bilinmeyen polinomu belirlemek
Derecesi bilinen bir polinom, katsayıları harfle yazılarak bulunur. P(x) ikinci dereceden ve her x için P(x − 1) + P(x + 1) = 2x² − 4x + 8 ise P(x) = ax² + bx + c yazılır. (x − 1)² + (x + 1)² = 2x² + 2 olduğundan sol taraf 2ax² + 2bx + 2a + 2c olur. Katsayılar karşılaştırılınca 2a = 2, 2b = −4 ve 2a + 2c = 8 bulunur; buradan a = 1, b = −2, c = 3 ve P(x) = x² − 2x + 3 olur.
Sabit terimde 2a katkısını gözden kaçırmamak gerekir; bu terim, kareler açılırken ortaya çıkan 1'lerden gelir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (a − 1)x² + (b + 2)x + 5 = 3x² − x + (c − 1) eşitliği her x için doğru olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır?
Çözüm. Aynı dereceli terimlerin katsayılarını eşitleriz. x²'li terimlerden a − 1 = 3 ve a = 4, x'li terimlerden b + 2 = −1 ve b = −3, sabit terimlerden 5 = c − 1 ve c = 6 bulunur. Toplam 4 − 3 + 6 = 7'dir.
Örnek 2. P(x) birinci dereceden bir polinomdur ve her x için P(2x + 1) = 6x + 7 eşitliği sağlanır. P(x) nedir?
Çözüm. P(x) = mx + n yazarız. P(2x + 1) = m(2x + 1) + n = 2mx + m + n olur. 6x + 7 ile karşılaştırınca 2m = 6, yani m = 3 ve m + n = 7, yani n = 4 bulunur. P(x) = 3x + 4'tür; kontrol: 3(2x + 1) + 4 = 6x + 7.
Sık yapılan hatalar
- Eksik terimin katsayısını 0 almamak.
- Bilinmeyen polinomu katsayılarla yazarken sabit terimi unutmak.
- Özdeşlikte yalnızca bir x değeri yazıp bütün katsayıları bulduğunu sanmak; her bilinmeyen için bir denklem gerekir.
- Eşit polinomlarda aynı dereceli terimlerin katsayıları eşittir.
- Özdeşlikte x yerine istediğin sayıyı yazabilirsin.
- Derecesi bilinen polinomu katsayılarını harfle yazarak bul.